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数据包络分析包络分析的历史和作用相对评价问题数据包络分析的基本概念C2R模型包络分析的结果例1的分析**海南大学信息学院数学系舒兴明联系1175627501978年A.Charnes,W.W.cooper和E.Rhodes给出了评价决策单元相对有效性的数据包络分析方法(dataenvelopmentanalysis,DEA)目前，数据包络分析是评价具有多指标输入和多指标输出系统的较为有效的方法。例1（多指标评价问题）某教委需要对六所重点中学教学进行评价，其相应的指标如下表所示。表中的生均投入和非低收入家庭百分比是两个输入指标，生均写作得分和生均科技得分是输出指标。请根据这些指标，评价中那些学校是相对有效的。222295291317287223生均科技得分/分25.227.226.429.428.225.2生均写作得分/分79.996.29699.69964.3非低收入家庭百分比/%47.1962.40106.38108.1386.2589.39生均投入(百元/年）FEDCBA学校由上表可以看出，学校C的两项输出指标都是最高的，达到29.4和317，应该说，学校C是最有效的。但是从另外一个方面来说，对它的投入也是最高的，达到108.13和99.6，因此它的效率也可能是最低的。究竟怎么来评价这6所学校呢？假设有n个部门或单位（称为决策单元，decisionmakingunits)，这n个单元都具有可比性。每个单元有m个输入变量和s个数出变量，如下图1…j…n输入输出上表中，xij表示第j个决策单元对第i种输入的投入量，且xij0，yrj表示第j个决策单元对第r种输出的产出量，满足yrj0。vi(i=1,2,…,m)表示第i种输入的度量（权），ur表示第r种输出的一种度量（权）。将上表写成向量形式，如下表vu4引例1考察某种装置的燃烧比，设YR是给定X个单位煤产生热量的理想值，设Yr是某种燃烧装置燃烧X个单位煤所产生的热量的实际值，则燃烧装置的燃烧比(相对评价指标)为Er为其中，Yr=YR,即0=Er=1。1这个结果怎么来利用的呢？看看下面的优化模型23其中,u,v是权重，模型的目的为了在使得2,3两个约束成立下，求解产出投入比率的最大值。不妨设(u*,v*)是上述优化问题的最优解。且Yr=YR，以及即求产出投入比率的最大值得到所以上述优化问题的最优解(u*,v*)满足：其对应的最优目标函数值为即燃烧装置的燃烧相对评价指数。在表4中的数据，设为第j个决策单元的评价函数。可以选择适当的权系数u,v，使得第j个决策单元的评价指数hj的意义：在权系数u,v下，投入vTXj，产出uTYj的投入产出比。按照引例1的讨论方式，我们需要考虑某个决策单元j0的效率评价指数hj0为目标，满足约束的如下非线性规划模型称这个模型为C2R模型。为了求解方便，我们引入一个线性变换，将上述模型变为一个线性规划模型。5678a如果上述线性规划模型5~7的最优目标函数值满足则称决策单元j0是弱DEA有效的。b如果上述线性规划模型5~8存在最优解，且则称决策单元j0是DEA有效的。sets:xuexiao/1..6/:p;touru/1,2/:w;chanchu/1,2/:u;link1(touru,xuexiao):x;link2(chanchu,xuexiao):y;endsetsmax=@sum(link2(i,j):u(i)*y(i,j)*p(j));@for(xuexiao(j):@sum(touru(i):w(i)*x(i,j))-@sum(chanchu(i):u(i)*y(i,j))=0);@for(xuexiao(j):p(j)*@sum(touru(i):w(i)*x(i,j))=p(j));*