13.3.2 等边三角形能力提升训练人教版2024—2025学年八年级上册.docxVIP

13.3.2等边三角形能力提升训练人教版2024—2025学年八年级上册

【考点·方法·破译】

1．等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；

2．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立．

【典型例题解析】

类型一.等边三角形判定与性质

例1如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点在一条直线上．AE、BD分别与CD、CE交于点M、N．

(1)求证：△ACE≌△DCB;

(2)求∠AFD的度数；

(3)判断△CMN的形状

【变式练习】

1.如图所示，已知△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝∠D＝60°，AE平分∠BAC，若BD＝8cm，DE＝3cm，求BC的长．

2.如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE＝BD，连接CE，DE．求证：EC＝ED．

3.如图，已知△ABC是等边三角形，D是边AC的中点，连接BD，EC⊥BC于点C，CE＝BD．求证：△ADE是等边三角形．

4.如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE＝BD．

说明：△ADE是等边三角形．

5.已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．

（1）求证：AN＝BM；

（2）求证：△CEF为等边三角形．

6.已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．

（1）求证：AD＝BE；

（2）求∠DOE的度数；

（3）求证：△MNC是等边三角形．

7.等边△ABC，点D是直线BC上一点，以AD为边在AD的右侧作等边△ADE，连接CE．

（1）如图1，若点D在线段BC上，求证：CE+CD=AB；

（2）如图2，若点D在CB的延长线上，线段CE，CD，AB的数量有怎样的数量关系？请加以证明．

8.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠BAD＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．

（1）判断△DEF的形状，并说明理由．

（2）若AD＝10，CE＝8，求CF的长．

9.如图，E为等边△ABC的边AC上一点，且∠1＝∠2，CD＝BE，试判定△ADE的形状，并说明理由．

10.如图，在等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P。

（1）求∠APE的度数；

（2）连接CP，若CP⊥AD，求BP：AP的值

11.如图：在△ABC中，AB＝BC＝AC，AE＝CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

求证：①△ADC≌△BEA；

②BP＝2PQ．

12.如图，△ABD和△BCD均是边长为2的等边三角形，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE+CF＝2．

（1）求证：△BDE≌△BCF；

（2）判断△BEF的形状，并说明理由．

类型二.含30°角的直角三角形

例2如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN平分线MN分别交BC，AB于点M，N，求证：CM=2BM

【变式练习】

13.如图，O点是直线BC上一点，∠AOB=30°，PO平分∠AOC，PM∥BC交AO于点M，MP=8cm，PD⊥OC于点D，则PD等于()

A.7cmB.6cmC.5cmD.4cm

14.已知△ABC是等腰三角形，A为顶点，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC的大小为___________________。

15.如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝15°，AB＝5，求△ABC的面积．

16.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，AD⊥BC于D，BF平分∠ABC，交AD于E，交AC于F．

（1）求证：△AEF是等边三角形；

（2）求证：BE＝EF．

17．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD＝2BD．

18．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝45°，BD⊥AC，垂足为D，点E为AB的中点，连接CE．

（1）求的值；

（2）求∠BEC的度数；

（3）若BC＝，求AC的长．

20．在Rt△ABC中∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE是线段AB的垂直平分线．

（1）求∠B的大小；

（2）求证：BC＝3DC．

21．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证：BF＝2CF．

22.如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE