2025年高考数学一轮复习讲义专题11 对数与对数函数解析版.docx

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专题11对数与对数函数（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 12

【考点1】对数的运算 12

【考点2】对数函数的图象及应用 16

【考点3】对数函数的性质及应用 21

【分层检测】 25

【基础篇】 25

【能力篇】 31

【培优篇】 34

考试要求：

1.理解对数的概念及运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.

2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.

3.了解指数函数y＝ax与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数.

知识梳理

知识梳理

1.对数的概念

如果ax＝N(a0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

2.对数的性质、运算性质与换底公式

(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a0，且a≠1).

(2)对数的运算性质

如果a0且a≠1，M0，N0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM(n∈R).

(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a0，且a≠1，b0，c0，且c≠1).

3.对数函数及其性质

(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

a1

0a1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)

当x1时，y0；

当0x1时，y0

当x1时，y0；

当0x1时，y0

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数

4.反函数

指数函数y＝ax(a0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.

1.换底公式的两个重要结论

(1)logab＝eq\f(1,logba)(a0，且a≠1；b0，且b≠1).

(2)logambn＝eq\f(n,m)logab(a0，且a≠1；b0；m，n∈R，且m≠0).

2.对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.

故0＜c＜d＜1＜a＜b.

由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（????）

A． B．

C． D．

2．（2022·全国·高考真题）已知，则（????）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高考真题）设，则（????）

A． B． C． D．

4．（2021·全国·高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（????）

A． B． C． D．

5．（2021·全国·高考真题）设，，．则（????）

A． B． C． D．

6．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（????）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

7．（2021·天津·高考真题）若，则（????）

A． B． C．1 D．

8．（2021·天津·高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2023·全国·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：

声源

与声源的距离

声压级

燃油汽车

10

混合动力汽车

10

电动汽车

10

40

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（????）．

A． B．

C． D．

三、填空题

10．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是.

11．（2023·北京·高考真题）已知函数，则．

12．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则，．

参考答案：

1．C

【分析】

利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.

【详解】

对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，故A错误；

对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，

所以在上单调递减，故B错误；

对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，

所以在上单调递增