2025年高考数学一轮复习讲义专题22 两角和与差的正弦、余弦和正切解析版.docx

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专题22两角和与差的正弦、余弦和正切（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 7

【考点1】公式的基本应用 7

【考点2】公式的逆用及变形 11

【考点3】角的变换问题 16

【分层检测】 19

【基础篇】 19

【能力篇】 25

【培优篇】 28

考试要求：

1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义.

2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

3.能运用公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆).

知识梳理

知识梳理

1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.

cos(α?β)＝cosαcosβ±sinαsinβ.

tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin2α＝2sinαcosα.

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.

tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).

3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).

1.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tanαtanβ).

2.降幂公式：cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).

3.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，

1－sin2α＝(sinα－cosα)2，

sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）已知，则（????）．

A． B． C． D．

2．（2023·全国·高考真题）已知为锐角，，则（????）．

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高考真题）若，则（????）

A． B．

C． D．

4．（2021·全国·高考真题）若，则（????）

A． B． C． D．

5．（2021·全国·高考真题）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰必威体育精装版高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（????）

A．346 B．373 C．446 D．473

二、多选题

6．（2021·全国·高考真题）已知为坐标原点，点，，，，则（????）

A． B．

C． D．

参考答案：

1．B

【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.

【详解】因为，而，因此，

则，

所以.

故选：B

【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法

（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．

（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．

2．D

【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出．

【详解】因为，而为锐角，

解得：．

故选：D．

3．C

【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.

【详解】[方法一]：直接法

由已知得：,

即：，

即：

所以

故选：C

[方法二]：特殊值排除法

解法一:设β=0则sinα+cosα=0，取，排除A,B；

再取α=0则sinβ+cosβ=2sinβ，取β，排除D；选C.

[方法三]：三角恒等变换

所以

即

故选：C.

4．C

【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果．

【详解】将式子进行齐次化处理得