2025年高考数学一轮复习讲义专题33 等差数列及其前n项和原卷版.docxVIP

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专题33等差数列及其前n项和（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 3

【考点突破】 4

【考点1】等差数列的基本运算 4

【考点2】等差数列的判定与证明 5

【考点3】等差数列的性质及应用 7

【分层检测】 8

【基础篇】 8

【能力篇】 10

【培优篇】 10

考试要求：

1.理解等差数列的概念.

2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.

3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.

4.了解等差数列与一次函数的关系.

知识梳理

知识梳理

1.等差数列的概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.

数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)等差中项：由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，根据等差数列的定义可以知道，2A＝a＋b.

2.等差数列的通项公式与前n项和公式

(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）d,2)＝eq\f(n（a1＋an）,2).

3.等差数列的性质

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.

(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列.

(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.

(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也为等差数列.

1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.

3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.

4.数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（????）

A． B． C． D．

2．（2024·全国·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（????）

A． B． C．1 D．

3．（2023·全国·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（????）

A．25 B．22 C．20 D．15

4．（2023·全国·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（????）

A．甲是乙的充分条件但不是必要条件

B．甲是乙的必要条件但不是充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

二、填空题

5．（2024·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则.

6．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：

①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素；

②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素；

③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素；

④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素.

其中正确结论的序号是.

7．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则；数列所有项的和为．

8．（2022·全国·高考真题）记为等差数列的前n项和．若，则公差．

考点突破

考点突破

【考点1】等差数列的基本运算

一、单选题

1．（2024·四川攀枝花·三模）数列的前项和为，，，设，则数列的前51项之和为（????）

A． B． C．49 D．149

2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知在正项等比数列中，，且成等差数列，则（????）

A．157 B．156 C．74 D．73

二、多选题

3．（2024·贵州毕节·三模）已知等差数列的前n项和为，且，则（????）

A． B．

C．数列的前n项和为 D．数列的前n项和为

4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则下列结论正确的是