《任意角的三角函数》教学教案2.docVIP

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1.2.1任意角的三角函数

学习目的：

1、掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解任意角的余切、正割、余割的定义；

2、掌握三角函数值的符号的确定方法；

3、记住三角函数的定义域、值域，诱导公式（一）；

4、利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值。

学习重点、难点

重点：三角函数的定义，各三角函数值在每个象限的符号，特殊角的三角函数值

难点：对三角函数的自变量的多值性的理解，三角函数的求值中符号的确定

学习过程：

一、复习引入：

初中锐角的三角函数是如何定义的？

在Rt△ABC中，设A对边为a，B对边为b，C对边为c，锐角A的正弦、余弦、正切依次为．

角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。

二、讲授新课：

1．三角函数定义

在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点（除了原点）的坐标为，它与原点的距离为，那么

（1）比值叫做α的正弦，记作，即；

（2）比值叫做α的余弦，记作，即；

（3）比值叫做α的正切，记作，即；

说明：①α的始边与轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；

②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点在α的终边上的位置的改变而改变大小；

③当时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标都等于，所以无意义；

2．三角函数的定义域、值域

函数

定义域

值域

注意：

(1)以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合．

(2)α是任意角，射线OP是角α的终边，α的各三角函数值（或是否有意义）与ox转了几圈，按什么方向旋转到OP的位置无关．

(3)sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“α”的积．其余几个符号也是这样．

3．三角函数的符号

由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，我们可以得知：

①正弦值对于第一、二象限为正（），对于第三、四象限为负（）；

②余弦值对于第一、四象限为正（），对于第二、三象限为负（）；

③正切值对于第一、三象限为正（同号），对于第二、四象限为负（异号）．

说明：若终边落在轴线上，则可用定义求出三角函数值。

4．诱导公式

由三角函数的定义，就可知道：终边相同的角三角函数值相同。

即有：

，

，其中．

，

这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题．

5．当角的终边上一点的坐标满足时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。

=1\*GB3①单位圆：圆心在圆点，半径等于单位长的圆叫做单位圆。

=2\*GB3②有向线段：

坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。

规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。

=3\*GB3③三角函数线的定义：

设任意角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点．

（Ⅰ

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（

（Ⅳ）

（

（Ⅲ）

由四个图看出：

当角的终边不在坐标轴上时，有向线段，于是有

，，

．

我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。

三、典型例题

例1．已知角α的终边经过点，求α的三个函数制值。

解：因为，所以，于是

；；

；

例2．求下列各角的三个三角函数值：

（1）；（2）；（3）．

解：（1）因为当时，，，所以

，，，

（2）因为当时，，，所以

，，，

（3）因为当时，，，所以

，，不存在。

例3．已知角α的终边过点，求α的三个三角函数值。

解：因为过点，所以，

当；

；

；

当；

；．

例4．求函数的值域

解：定义域：cosx?0∴x的终边不在x轴上

又∵tanx?0∴x的终边不在y轴上

∴当x是第Ⅰ象限角时，cosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2

…………Ⅱ…………,|cosx|=?cosx|tanx|=?tanx∴y=?2

…………Ⅲ、Ⅳ………,|cosx|=?cosx|tanx|=tanx∴y=0

例5．．利用三角函数线比较下列各组数的大小：

1?与2?tan与tan

ABoT2

A

B

o

T2

T1

S2S1

P2

P1

M2M1S