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专题：平面向量与三角形的心（二）

一、教学目标

（一）核心素养

通过这节课学习，了解三角形中内心、外心的定义及向量表达形式，会利用其向量表达形式解决问题．

（二）学习目标

1．掌握三角形中内心、外心的定义及性质．

2．能根据三角形内心、外心的性质，选择适当的向量表达形式解决问题．

（三）学习重点

三角形内心、外心的性质及向量表达形式.

（四）学习难点

根据三角形内心、外心的性质，选择适当的向量表达式解决问题．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

（1）三角形中内心的定义：三角形三个内角平分线的交点，内心即三角形内切圆的圆心；三角形中内心的性质：O是△ABC的内心（a，b，c是△ABC的三边长）.

（2）三角形中外心的定义：三角形三条边的垂直平分线的交点，外心即三角形外接圆的圆心；三角形中外心的性质：O是△ABC的外心或.

2．预习自测

（1）O是△ABC的内心（a，b，c是△ABC的三边长）.

（2）O是△ABC的外心或.

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）三角形中重心的定义：三角形三条中线的交点．它到三角形顶点距离与该点到对边中点距离之比为2∶1.三角形中重心的性质：G是△ABC的重心

（2）三角形中垂心的定义：三角形三条高线的交点.三角形中垂心的性质：H是△ABC的垂心.

2.问题探究

探究一内心的定义、性质及向量表达形式.

●活动①归纳提炼概念

画出一个三角形并找到它的内心.

定义：三角形三个内角平分线的交点叫三角形的内心．内心即三角形内切圆的圆心，它到三角形三边的距离相等．

●活动②发现性质，对其证明

（2）性质：O是△ABC的内心（a，b，c是△ABC的三边长）.

证明：∵、分别为、方向上的单位向量，

∴平分∠BAC，

∴，令

∴

化简得，∴

推论：O是△ABC的内心

【设计意图】通过画图让学生直观的感受三角形内心的概念．引导学生应用向量的相关知识，分析三角形内心所具备的一些特定的性质.培养学生以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题.

探究二外心的定义、性质及向量表达形式.

●活动①归纳提炼概念

画出一个三角形并找到它的外心.

定义：三角形三条边的垂直平分线的交点叫三角形的外心．外心即三角形外接圆的圆心，它到三角形的三个顶点的距离相等．

●活动②得到性质及向量表达形式

（2）性质：O是△ABC的外心或

【设计意图】通过画图让学生直观的感受三角形外心的概念．引导学生应用向量的相关知识，分析三角形外心所具备的一些特定的性质.培养学生以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题.

●活动③巩固基础，检查反馈

例1．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P点的轨迹一定经过△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【知识点】三角形内心的定义及性质.

【数学思想】向量的共线定理，平面向量的加减运算法则及几何意义.

【解题过程】∵表示以A为起点，分别与、方向相同的两个单位向量的和，∴向量的方向与∠BAC的角平分线方向一致，∵，∴，∴的方向与∠BAC的角平分线方向一致，故一定经过△ABC的内心.

【思路点拨】由题目可得，，由向量平行四边形法则可知P在△ABC的∠BAC的平分线上.

【答案】B.

同类训练在直角坐标系xoy中，已知点A(0,1)和点B(–3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且，则=_________________.

【知识点】用向量表示角平分线.

【数学思想】方程的思想.

【解题过程】点C在∠AOB的平线上，则存在

使==,又，解方程，可得，∴.

【思路点拨】以角平分线为切入点，列方程解出.

【答案】.

例2．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P点的轨迹一定经过△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【知识点】三角形外心的定义及性质.

【数学思想】向量的共线定理，平面向量的加减运算法则及几何意义

【解题过程】∵，∴与与垂直，设D为BC的中点，则，令，又因为，

所以，所以DP是BC的垂直平分线，即P点的轨迹一定经过△ABC的外心.

【思路点拨】先根据数量积为零求证与垂直，设D为BC的中点，令，可得P在BC的垂直平分线上.

【答案】A．

同类训练已知O是△ABC所在平面上的一点，

若===0，则O点是△ABC的（）

A.外心B.内心C.重心D.垂心

【知识点】向量的数量积，三角形外心的定义.

【数学思想】转化的数学思想.

【解题过程】

解：由已知得：

===0

==