2025年高考数学一轮复习讲义专题58 分类加法计数原理与分步乘法计数原理原卷版.docx

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专题58分类加法计数原理与分步乘法计数原理（新高考专用）

目录

目录

【知识梳理】 2

【真题自测】 2

【考点突破】 3

【考点1】分类加法计数原理的应用 3

【考点2】分步乘法计数原理的应用 4

【考点3】两个计数原理的综合应用 6

【分层检测】 8

【基础篇】 8

【能力篇】 10

考试要求：

1.通过实例，了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.

2.能解决简单的实际问题.

知识梳理

知识梳理

1.分类加法计数原理

完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法.

2.分步乘法计数原理

完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法.

3.分类加法和分步乘法计数原理，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础，并贯穿其始终.

(1)分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类，并且只属于其中一类.

(2)分步乘法计数原理中，各个步骤中的方法相互依存，步与步之间“相互独立，分步完成”.

真题自测

真题自测

一、单选题

1．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（????）

A．120 B．60 C．30 D．20

2．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（????）

A．30种 B．60种 C．120种 D．240种

3．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（????）．

A．种 B．种

C．种 D．种

4．（2023·全国·高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（????）

A． B． C． D．

二、填空题

5．（2024·上海·高考真题）设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值．

6．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有种（用数字作答）．

考点突破

考点突破

【考点1】分类加法计数原理的应用

一、单选题

1．（2023·湖南·模拟预测）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲?乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳?射击?体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（????）

A．12种 B．18种 C．24种 D．36种

2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）2024年3月16日下午3点，在贵州省黔东南苗族侗族自治州榕江县“村超”足球场，伴随平地村足球队在对阵口寨村足球队中踢出的第一脚球，2024年第二届贵州“村超”总决赛阶段的比赛正式拉开帷幕.某校足球社的五位同学准备前往村超球队所在村寨调研，将在第一天前往平地村、口寨村、忠诚村，已知每个村至少有一位同学前往，五位同学都会进行选择并且每位同学只能选择其中一个村，若学生甲和学生乙必须选同一个村，则不同的选法种数是（????）

A．18 B．36 C．54 D．72

二、多选题

3．（2024·重庆·模拟预测）如图，16枚钉子钉成4×4的正方形板，现用橡皮筋去套钉子，则下列说法正确的有(不同的图形指两个图形中至少有一个顶点不同)（????）

A．可以围成20个不同的正方形

B．可以围成24个不同的长方形(邻边不相等)

C．可以围成516个不同的三角形

D．可以围成16个不同的等边三角形

三、填空题

4．（22-23高三下·浙江杭州·阶段练习）在一个圆周上有8个点，用四条既无公共点又无交点的弦连结它们，则连结方式有种.

5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则；