教案1-等比数列的前n项和（第2课时） (1).docVIP

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2.5等比数列的前n项和

教学过程

推进新课

［合作探究］

师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：1+q+q2+…+qn=？

师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.

生观察、独立思考、合作交流、自主探究.

师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？

生q+q2+…+qn+qn+1.

生每一项就成了它后面相邻的一项.

师对上面的问题的解决有什么帮助吗？

师生共同探索：

如果记Sn=1+q+q2+…+qn,

那么qSn=q+q2+…+qn+qn+1.

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=1-qn.

师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.

生如果q≠1，则有.

师当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.

生如果q＝1，那么Sn=n.

师上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？

课件展示：

a1+a2+a3+…+an=？

［教师精讲］

师在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.

师在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.

如果记Sn=a1+a2+a3+…+an,

那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.

师再次提醒学生注意q的取值.

如果q≠1，则有.

师上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：

如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,

那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn.

如果q≠1，则有.

师上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.

形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.

值得重视的是：上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.

师现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？

生独立思考、合作交流.

生如果q＝1，Sn=na1.

师完全正确.

如果q＝1，那么Sn=nan正确吗？怎么解释？

生正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.

师对了，这就是认清了问题的本质.

师等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：

［合作探究］

思路一：根据等比数列的定义，我们有：,

再由合比定理，则得,

即,

从而就有(1-q)Sn=a1-anq.

(以下从略)

思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an得

Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q(a1+a2+…+an-1)=a1+q(Sn-an),

从而得(1-q)Sn=a1-anq.

(以下从略)

师探究中我们们应该发现，Sn-Sn-1=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？

生n＞1.

师对的，请同学们今后多多关注这个关系式：Sn-Sn-1=an，n＞1.

师综合上面的探究过程，我们得出：

或者

［例题剖析］

【例题1】求下列等比数列的前8项的和：

(1),,,…；

(2)a1=27,a9=,q＜0.

［合作探究］

师生共同分析：

由(1)所给条件，可得，,求n＝8时的和，直接用公式即可.

由(2)所给条件，需要从中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而a9=a1q8，所以由条件可得q8==，再由q＜0，可得，将所得的值代入公式就可以了.

生写出解答：

(1)因为,，所以当n＝8时，.

(2)由a1=27,，可得，

又由q＜0，可得,

于是当n＝8时，.

【例题2】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)？

师根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30000求n的问题.

生理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.

解：根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5000,q