人教A版高中数学必修2课时作业（12） 直线与平面垂直的判定.docVIP

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课时作业（十二）直线与平面垂直的判定

一、选择题

1．下列说法中正确的个数是()

①若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α；

②若直线l与平面α内的两条相交直线垂直,则l⊥α；

③若直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α.

A．3 B．2

C．1 D．0

答案：B

2．在空间四边形ABCD中,若AB⊥CD,BC⊥AD,则对角线AC与BD的位置关系为()

A．相交但不垂直 B．垂直但不相交

C．不相交也不垂直 D．无法判断

答案：B

3.如图所示,如果MC⊥菱形ABCD所在平面,那么MA与BD的位置关系是()

A．平行 B．垂直相交

C．垂直但不相交 D．相交但不垂直

答案：C

4．如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中不正确的是()

A．AC⊥SB

B．AB∥平面SCD

C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角

D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角

答案：D

5．正方体ABCD-A1B1C1D1中,BB1与平面ACD1所成的角的余弦值为()

A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(3),3)

C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(6),3)

答案：D

二、填空题

6．菱形ABCD的对角线交于点O,点P在ABCD所在平面外,且PA＝PC,PD＝PB,则PO与平面ABCD的位置关系是________．

答案：PO⊥平面ABCD

7.如图,∠BCA＝90°,PC⊥平面ABC,则在△ABC,△PAC的边所在的直线中：

(1)与PC垂直的直线有_____________________________；

(2)与AP垂直的直线有___________________________________．

答案：(1)AB,AC,BC(2)BC

8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线A1B与对角面BB1D1D所成的角为________．

答案：30°

三、解答题

9．如图,在直角三角形BMC中,∠BCM＝90°,∠MBC＝60°,BM＝5,MA＝3且MA⊥AC,AB＝4,求MC与平面ABC所成角的正弦值．

解：因为BM＝5,MA＝3,AB＝4,所以AB2＋AM2＝BM2,所以MA⊥AB.

又因为MA⊥AC,AB,AC?平面ABC,且AB∩AC＝A,所以MA⊥平面ABC,

所以∠MCA即为MC与平面ABC所成的角．

又因为∠MBC＝60°,所以MC＝eq\f(5\r(3),2),

所以sin∠MCA＝eq\f(MA,MC)＝eq\f(3,\f(5\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),5).

10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点．求证：

(1)直线BC1∥平面EFPQ；

(2)直线AC1⊥平面PQMN.

证明：(1)连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥BC1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.

而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,

故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)如图,连接AC,BD,

则AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1＝C,

所以BD⊥平面ACC1.

而AC1?平面ACC1,

所以BD⊥AC1.

连接B1D1,因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,

所以MN∥B1D1,故MN∥BD,从而MN⊥AC1.

同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN＝N,

所以直线AC1⊥平面PQMN.