人教A版高中数学必修2课时作业（15） 直线与平面、平面与平面垂直的性质（习题课）.docVIP

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课时作业（十五）直线与平面、平面与平面垂直的性质（习题课）

一、选择题

1．已知l,m,n为两两垂直的三条异面直线,过l作平面α与直线m垂直,则直线n与平面α的关系是()

A．n∥α B．n∥α或n?α

C．n?α或n与α不平行 D．n?α

答案：A

2.如图所示,在正四面体P-ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论不成立的是()

A．BC∥平面PDF

B．DF⊥平面PAE

C．平面PDF⊥平面ABC

D．平面PAE⊥平面ABC

答案：C

3．已知直线m,n,平面α,β,给出下列命题：

①若m⊥α,m⊥β,则α⊥β；②若m∥α,m∥β,则α∥β；③若m⊥α,m∥β,则α⊥β；④若异面直线m,n互相垂直,则存在过m的平面与n垂直．

其中正确的命题是()

A．②③ B．①③

C．②④ D．③④

答案：D

4.如图,在Rt△ACB中,∠ACB＝90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小()

A．变大

B．变小

C．不变

D．有时变大有时变小

答案：C

5.如图,在四面体D-ABC中,若AB＝CB,AD＝CD,E是AC的中点,则下面结论正确的是()

A．平面ABC⊥平面ABD

B．平面ABD⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDE,且平面ADC⊥平面BDE

D．平面ABC⊥平面ADC,且平面ADC⊥平面BDE

答案：C

二、填空题

6．α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题：________.

答案：若①③④,则②(或若②③④,则①)

7．如图所示,沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是________．

答案：平面ABC⊥平面ACD

8.如图所示,平面ABC⊥平面ABD,∠ACB＝90°,CA＝CB,△ABD是正三角形,则二面角C-BD-A的平面角的正切值为________．

答案：eq\f(2\r(3),3)

三、解答题

9.如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB＝2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点．求证：

(1)CE∥平面PAD；

(2)平面EFG⊥平面EMN.

证明：(1)法一：

如图,取PA的中点H,连接EH,DH.

因为E为PB的中点,

所以EH∥AB,EH＝eq\f(1,2)AB.

又AB∥CD,CD＝eq\f(1,2)AB,

所以EH∥CD,EH＝CD,

因此四边形DCEH是平行四边形．

所以CE∥DH.

又DH?平面PAD,CE?平面PAD,

所以CE∥平面PAD.

法二：如图,连接CF.

因为F为AB的中点,

所以AF＝eq\f(1,2)AB.

又CD＝eq\f(1,2)AB,

所以AF＝CD.

又AF∥CD,

所以四边形AFCD为平行四边形．

因此CF∥AD.

又CF?平面PAD,AD?平面PAD,

所以CF∥平面PAD.

因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.

又EF?平面PAD,PA?平面PAD,

所以EF∥平面PAD.

因为CF∩EF＝F,故平面CEF∥平面PAD.

又CE?平面CEF,

所以CE∥平面PAD.

(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,

所以EF∥PA.

又AB⊥PA,所以AB⊥EF.

同理可证AB⊥FG.

又EF∩FG＝F,EF?平面EFG,FG?平面EFG,

因此AB⊥平面EFG.

又M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD.

又AB∥CD,所以MN∥AB,所以MN⊥平面EFG.

又MN?平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.

10.如图,AEeq\x\to(C)是半径为a的半圆,AC为直径,点E为Aeq\x\to(C)的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FB＝eq\r(5)a.

(1)证明：EB⊥FD；

(2)求点B到平面FED的距离．

解：(1)证明：∵FC⊥平面BED,BE?平面BED,

∴EB⊥FC.

又点E为Aeq\x\to(C)的中点,B为直径AC的中点,

∴EB⊥BC.

又∵FC∩BC＝C,∴EB⊥平面FBD.

∵FD?平面FBD,∴EB⊥FD.

(2)如图,在平面BEC内过C作CH⊥ED,连接FH.则由FC⊥平面BED知,ED⊥平面FCH.

∵Rt△DHC∽Rt△DBE,

∴eq\f(DC,DE)＝eq\f(CH,BE).

在Rt△DBE中,