2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-平面向量的数量积及其应用(带答案解析).docx

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5.2平面向量的数量积及其应用

三年模拟

一、选择题

1.(2024福建龙岩一模,3)已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|2a-b|=19,则|b|=()

A.5B.32C.4D.3

答案A∵向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|2a-b|=19,∴4a2-4a·b+b2=19,即|b|2-2|b|-15=0,解得|b|=5或|b|=-3(舍去),故选A.

2.(2024湖北八市联考,4)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a⊥(a+b),则a与b的夹角为()

A.π

答案C因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=0,即|a|2+|a||b|cosa,b=0,因为|a|=1,|b|=2,所以cosa,b=-12,因为a,b∈[0,π],所以a,b=2π

3.(2024湖南邵阳一模,5)在?ABCD中,AC=(1,2),BD=(3,4),则AB·

A.-5B.-4C.-3D.-2

答案A因为AC=AB+AD,BD=AD-AB,所以AC2=AB2+2AB·AD+AD2

4.(2024贵阳一模,8)已知向量a,b的夹角为π3

A.π

答案A∵|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2-2|a||b|cosπ3+|b|2=|a|2-|a||b|+|b|2=|a|2,∴|a|=|b|,∴|2a-b|2=4a2-4a·b+b2=4|a|2-4|a||b|cosπ3+|b|2=3|a|2.∴|2a-b|=

∵a·b=|a||b|cosπ3=1

∴cosθ=a·(2a

5.(2024广东佛山二模,8)△ABC中,AB=2,∠ACB=π4,O是△ABC外接圆的圆心,则OC·AB+CA

A.0B.1C.3D.5

答案C过点O作OD⊥AC,OE⊥BC,垂足分别为D,E,如图,因为O是△ABC外接圆的圆心,所以D,E分别为AC,BC的中点,

在△ABC中,AB=CB-CA,则|AB|2=|

CO·CA=|CO||CA|cos∠OCA=|CD|·|CA|=12|CA

因此OC·AB+CA·CB=OC·(CB-CA)+CA·CB=

由正弦定理得|CA|=|AB

所以OC·AB+CA·

6.(2024陕西榆林二模,9)已知|OA|=|AB|=2,|

A.2B.4C.10D.5

答案B因为|AB|=|OB-OA|=2,所以|OB-OA|2=|OB|2-2OA·

7.(2024河南焦作二模,5)在边长为2的正六边形ABCDEF中,AC·BF=()

A.-6B.-23C.2

答案A如图,正六边形ABCDEF中,AC=AB+BC,BF=AF-AB,所以AC·BF=(AB+BC)·(

8.(2024四川绵阳二诊,3)已知平面向量a=(1,3),b=(2,λ),其中λ0,若|a-b|=2,则a·b=()

A.2B.23C.4

答案D由题意知a-b=(-1,3-λ),又|a-b|=2,

∴1+(3-λ)2=4,又λ0,∴λ=23,

∴b=(2,23),∴a·b=2+3×2

9.(2024辽宁名校联盟3月联考,10)古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑有一定影响,下图是受“八卦”的启示,设计的正八边形的八角窗.若O是正八边形ABCDEFGH的中心,且|AB|=1,则()

A.{AH,

B.OD·OF=0

C.OA

D.AC·CD

答案BD连接BG,CF,由正八边形的性质可知,AH∥BG,CF∥BG,所以AH∥CF,所以AH与CF是共线向量,所以{AH,CF}不能构成向量的一个基底,A错误;连接OD,OF,易知∠DOF=14×2π=π2,所以OD⊥OF,所以OD·OF=0,B正确;连接OA,OC,同B可知OA⊥OC,由平行四边形法则可知,OA+OC=2OB,C错误;因为正八边形的每一个内角为1

10.(2024安徽顶级名校4月联考,2)已知平面向量a,b,c满足b⊥c,|b|=|c|=2,若a·b=a·c=8,则|a|=()

A.22B.4

C.42D.8

答案C依题意得,a·b-a·c=a·(b-c)=0,而b⊥c,a·b=a·c=8,|b|=|c|=2,故a,b=a,c=45°,故a·b=|a||b|cos45°=8,解得|a|=42,故选C.

11.(2024全国八所名校联考(二),4)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB,AD向外分别作正方形ABEF,正方形ADMN,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC·FN

A.-22B.2

答案CAC·FN=(AB+AD)·(FA+AN)