2024年公务员考试容斥原理问题.doc

知识框架

数学运算问題一共分為十四个模块，其中一块是容斥原理问題。

在公务员考试中，根据集合的个数，容斥原理问題一般只有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系一般只要采用公式法就可轻松处理，三集合容斥关系又可分為原则型、图示标数型、整体反复型三类，对应解題措施分别是公式法、文氏图法、方程法。无论集合中的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这两类型，就能轻松搞定容斥原理问題。

要点拨

1、題型简介

容斥原理是在不考虑重叠的状况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去反复的部分，从而使得计算的成果既无遗漏又无反复。掌握容斥原理问題，可以协助同学們处理多集合元素个数的问題。

2、关键知识

（1）两个集合容斥关系

（2）三个集合容斥关系

A、原则型公式

???B、图示标数型（文氏图法）

画图法关键环节：

1画圈图；

2数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)；

③做计算。

C、整体反复型

A、B、C分别代表三个集合（例如“分别满足三个条件的元素数量”）；

W代表元素总量（例如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）；

x代表元素数量1（例如“满足一种条件的元素数量”）；

y代表元素数量2（例如“满足两个条件的元素数量”）；

z代表元素数量3（例如“满足三个条件的元素数量”）。

3、关键知识使用详解

（1）容斥原理问題要清晰容斥原理公式中各项的实际含义，与題中的数据精确对应。

（2）容斥原理问題的关键在于把文字转化為文氏图，在图中应准备反应題中集合之间的关系。

（3）容斥问題的难度在于題中集合也許较多，某些集合之间的关系也許不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。

扎实基础

1.两个集合容斥关系

例1：(中央第50題)

小明和小强参与同一次考试，假如小明答对的題目占題目总数的，小强答对了27道題，他們两人都答对的題目占題目总数的，那么两人都没有答对的題目共有（??）。

A.3道

B.4道

C.5道

D.6道

【答案】

D

【解析】

[題钥]

由于不懂得这次考试題目的总数，因此可先设題目总数既元素总量為。

“小明答对的題目占題目总数的”，相称于集合A為。

“小强答对了27道題”，相称于集合B為27。

“他們两人都答对的題目占題目总数的”，相称于集合。

“两人都没有答对的題目”，相称于求集合。

[解析]

根据題意，

???确定元素总量W：；

???确定集合A：；

???确定集合B：27；

???确定集合：；

???代入两集合公式：

＝＝

由于和均為題数，须均為正整数，因此必须為12的倍数，并且由选项知：3≤≤6

当W＝12時，＝－16，不合題意；

当W＝24時，＝－5，不合題意；

当W＝36時，＝6，符合題意。

因此，两人都没答对的題目為6道。

因此，选B。

2.三个集合容斥关系

例2：（浙江行测真題）

某专业有学生50人，現开设甲、乙、丙三门选修課。有40人选修甲課程，36选修乙課程，30人选修丙課程，兼选甲、乙两门課的有28人，兼选甲、丙两门課的有26人，兼选乙、丙门課程的有24人，甲、乙、丙三门課程均选的有20人，问三課均未选的有多少人？(???)

A.1人

B.2人

C.3人

D.4人

【答案】

B

【解析】

[題钥]

“某专业有学生50人”，相称于元素总量W為50。

“有40人选修甲課程”，相称于集合A為40。

“36选修乙課程”，相称于集合B為36。

“30人选修丙課程”，相称于集合C為30。

“兼选甲、乙两门課的有28人”，相称于集合=28。

“兼选甲、丙两门課的有26人”，相称于集合=26。

“兼选乙、丙门課程的有24人”，相称于集合=24。

“甲、乙、丙三门課程均选的有20人”，相称于集合=20。

“问三課均未选的有多少人?”相称于求集合。

[解析]

根据題意，

确定元素总量W：50

确定集合A：40

确定集合B：36

确定集合C：30

确定集合：28

确定集合：26

确定集合：24

确定集合：20

代入三集合原则型公式：

＝50-（40+36+30-28-24-26+20）

＝2

因此，选B。

例3：（国家行测真題）

某高校对某些学生进行问卷调查。在接受调查的学生中，准备参与注册会计师考试的有63人，准备参与英語六级考试的有89人，准备参与计算机考试的有47人，三种考试都准备参与的有24人，准备选择两种考试参与的有46人，不参与其中任何一种考试的有15人。问接受调查的学生共有多少人？(???)

A.120

B.144

C.177

D.192

【答案】

A

【解析】

[題钥]

观测題目，属于三个集合容斥