山东省青岛市西海岸新区胶南第一高级中学2024年高三二模（4月）数学试题.doc

山东省青岛市西海岸新区胶南第一高级中学2023年高三二模（4月）数学试题

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知中，，则（）

A．1 B． C． D．

2．若双曲线：（）的一个焦点为，过点的直线与双曲线交于、两点，且的中点为，则的方程为（）

A． B． C． D．

3．若集合，，则（）

A． B． C． D．

4．已知，，，则()

A． B． C． D．

5．方程在区间内的所有解之和等于()

A．4 B．6 C．8 D．10

6．已知集合则（）

A． B． C． D．

7．某校8位学生的本次月考成绩恰好都比上一次的月考成绩高出50分，则以该8位学生这两次的月考成绩各自组成样本，则这两个样本不变的数字特征是（）

A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数

8．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

9．过圆外一点引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是（）．

A． B． C． D．

10．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（）

A． B． C．3 D．5

11．已知集合，集合，则（）.

A． B．

C． D．

12．设i是虚数单位，若复数（）是纯虚数，则m的值为（）

A． B． C．1 D．3

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知，，，的夹角为30°，，则_________.

14．不等式的解集为________

15．若直线与直线交于点，则长度的最大值为____．

16．已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集用区间表示为__________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数，.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：.

18．（12分）已知的内角的对边分别为，且满足.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，求的周长的最小值.

19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心为（2，），半径为1的圆．

（1）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

（2）设M为曲线C1上的点，N为曲线C2上的点，求|MN|的取值范围．

20．（12分）已知两数．

（1）当时，求函数的极值点；

（2）当时，若恒成立，求的最大值．

21．（12分）已知函数．

（1）当时，试求曲线在点处的切线；

（2）试讨论函数的单调区间．

22．（10分）P是圆上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足．

（1）求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；

（2）过点的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C

【解析】

以为基底，将用基底表示，根据向量数量积的运算律，即可求解.

【详解】

,

,

.

故选:C.

【点睛】

本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理，考查向量数量积运算，属于中档题.

2．D

【解析】

求出直线的斜率和方程，代入双曲线的方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合焦点的坐标，可得的方程组，求得的值，即可得到答案.

【详解】

由题意，直线的斜率为，

可得直线的方程为，

把直线的方程代入双曲线，可得，

设，则，

由的中点为，可得，解答，

又由，即，解得，

所以双曲线的标准方程为.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了双曲线的标准方程的求解，其中解答中属于运用双曲线的焦点和联立方程组，合理利用根与系数的关系和中点坐标公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.

3．A

【解析】

用转化的思想求出中不等式的解集，再利用并集的定义求解即可．

【详解】

解：由集合，解得，

则

故选：．

【点睛】

本题考查了并集及其运算，分式不等式的解法，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．属于基础题．

4．B

【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和做对比，即可判断.

【详解】

由于，

，

故.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大