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导数含参数问题

类型一：没有其他未知字母状况下，求单调性，极值，最值

例1:设数fM=x3+ax2-9x-l(a-0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6

平行，求：(I)a的值；(II)数汽x)的单调区间.

解：(I)a=±3,由题设ovO,所以a=—3.

(II)由(I)知。=—3,因i^Gf(x)=x3—3%2—9x—1,

f(x)=3/_6x-9=3(x-3(x+1)

令/3)=0,解得：x1=-l,x2=3.

当黛(-00,-1)时，广⑴0,故f⑴在(-8,-1)上为增数；

当黛(-1,3)时，广⑴0,斯⑴在(-1,3)上为减数；

当xc(3,+oo)时，广⑴〉0,斯⑴在(3,+8)上为增数.

由此可见，勒⑴的单调递增区间为(-0-1)和(3,+8)；

单调递减区间为(-1,3).

变式训练1：设数/(x)=%4+ax3+2x2+b{xgR),其中q,Z?gR.

(I)当。=一?时，探讨数f(x)的单调性；

(II)若数f(x)仅在x=0处有极值，求•的取值范围；

(I)解：/r(x)=4x3+3ax2+4x=x(4x2+3ax+4).

当时，g=g—m+4)=2心-1)(7.令尸(睥。，解得.0,

想=!，V=2.f3)在(2,+8)是增数，在(—8,0),修刁内是减数.

(II)解：「3)=x(4F+3ax+4),明显x=0不是方程4^+3破+4=0的根.

为使f3)仅在x=0处有极值，必需4^+3破+430恒成立，即有小二。/—64W0.

aarrr-

解此不等式，得一这时，f(O)=b是唯一极值.a的取值范围是-.

类型二：结合数的图像与性质求参数的取值范围问题

例2：设Q为实数，数/(x)^x3-x2-x+ao

(1)求f3)的极值；

(2)当q在什么范围内取值时，曲线y=f(x)与尤轴仅有一个交点。

解：(1)/(x)=3x2-2x-1,若/*3)=0,则工=—

所以了⑴的极大值是4一!]=命+，微小值是f⑴=a-lo

(2)数/⑴-x2-x+€Z=(x-l)2(x+l)+€Z-lo

由此可知尤取足够大的正数时，有f(x)0,无取足够小的负数时，有

/(X)0,所以曲线了⑴与x轴至少有一个交点.结合/⑴的单调性可知:

当/⑴的极大值号+。°，即0一如时，它的微小值也

因此曲线)=f(X)与工轴仅有一个交点，它在(1,+8)上；

当f(jv)的微小值1-10时，即上时，它的极大值也小于0,y=/(%)与工轴仅

一个交点，它在上。当［｛-叫-号］(1,+°°)时，》=了3)与尤轴仅有一个交点。

1Q

变式训练2：.已知数/(x)=—x4+x3——x2+cx有三个极值点。证明：-27c5；

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1o

因为数/(x)=—x4+x3——x2+cx有三个极值点，所以ff(x)=a:3+3x2-9x+c=0有