6.3.2二项式系数的性质（课件）高中数学（新人教A版2019选择性必修第三册）.pptxVIP

第六章计数原理

6.3.2二项式系数的性质

理解二项式系数的性质

会用赋值法求展开式系数的和

会用二项式定理及其性质解决有关的简单问题

学习目标

学习

目标

三

复习引入

1.二项式定理

2.二项展开式的通项

3.二项式系数：

Cn,cn,c2,…,Cn

有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究。

新知探究

探究用计算工具计算(a+b)”的展开式的二项式系数，并填入下表中.

0

(a+b)”的展开式的二项式系数

杨辉三角

1

2

3

4

5

6

6

通过计算，填表，你发现了什么规律?

(a+b)¹

(a+b)²(a+b)³(a+b)⁴(a+b)⁵(a+b)⁶

(1)每行两端的数都是1;

(2)系数呈对称分布；与首末两端“等距离”的两个系数相等；C=C-

(3)同一行中，系数先增后减，两端的系数小，中间的系数大.Ci=C-+C

(4)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，等等.

新知探究

问题1上表写成如下形式，你发现了什么规律?

33

4

10105

20156

(a+b)¹(a+b)²(a+b)³(a+b)⁴(a+b)⁵(a+b)⁶

4

5

15

新知探究

下面再从函数角度分析二项式系数：

对于(a+b)”展开式的二项式系数：Cn,cn,C²,…,Cn

Cn可看成是以r为自变量的函数f(r),f0)

其定义域是：{0,1,2,…,n}

对于确定的n,我们还可以画出

它的图像。

例如，当n=6时，f(r)=Cn“(r∈{0,1,2,3,4,5,6})的图象是右图中的7个离散点.

新知探究

探究(1)观察右图，你发现了什么规律?

(2)请你分别画出n=7,8,9时f(r)=Cn的

图象，比较它们的异同，你发现了什么规律?

n=7n=8n=9

概念生成

由此我们可得二项式系数有以下性质：

性质1:对称性

与首末两端“等距离”的两个二

项式系数相等.

这一性质可直接由公式C=C得到.10

5

图象的对称轴：r0n

2

f(r)

20-

15

新知探究

性质2:增减性与最大值(增减性的实质是比较Ch与的大小)

所以Cn相对于Ch¹的增减情况由-A+决定.

由：

可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，

由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值

新知探究

性质2:增减性与最大值∵二项展开式共有n+1项，

n

∴(1)当n为偶数时，正中间一项的二项式系数_2最大；

(2)当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值.

n为偶数

k

4n

f(k)f(r)

n为奇

n

20-

15

10

5

0

20

15

10

5

0

新知探究

性质3:各二项式系数的和

问题2计算各二项式的系数之和，你能发现什么规律?

(a+b)¹—→1+1=2=21

(a+b)²————→1+2+1=4=22

(a+b)³————→1+3+3+1=8=23

(a+b)⁴—→1+4+6+4+1=16=24

(a+b)⁵—→1+5+10+10+5+1=32=25

(a+b)⁶—1+6+15+20+15+6+1=26猜想：C0+C¹+C²+…+Cn=2”.

新知探究

性质3:各二项式系数的和

求证：(a+b)n的展开式中的所有二项式系数的和等于2”

令a=1,b=1,则得(1+1)”=C0+C¹+…+Cn+…+Cn,

即.(赋值法)

另证：已知(1+x)=C+C¹x+C²x²+…+Cx

结论：