专题05 相似三角形中的动点问题（解析版）.pdfVIP

专题05相似三角形中的动点问题

例1．（分类讨论）如图，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，点P从点A出发，沿AB4cm/s的

速度向点B运动，同时点Q从点C出发，沿CA3cm/s的速度向点A运动，当其中一点到达终点时，另

一点也停止运动，设运动时间为xs．

(1)PQ∥BCx

当时，求的值．

(2)△APQ与△CQB能否相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

10

(1)

【答案】

3

40

(2)APcm20cm

能，＝或

9

【解析】（1）

PQ∥BCAPABAQAC

解：当时，：＝：，

∵AP＝4x，AQ＝30－3x，

4x30-3x

∴=，

2030

10

x

解得：＝；

3

（2）

解：∵BA＝BC

∴∠A=∠C，

APAQ

①当△APQ∽△CQB时，有=，

CQBC

4x30-3x

即：=，

3x20

10

解得：x=，

9

40

∴AP=4x=cm

（），

9

APAQ

②当△APQ∽△CBQ时，有=，

BCCQ

4x30-3x

即：=，

203x

解得：x＝5或x＝－10（舍去），

∴PA＝4x＝20（cm），

40

综上所述，当AP＝cm或20cm时，△APQ与△CQB相似．

9

例2．（函数与相似）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，AD⊥BC，垂足为D，F为AD

中点．点P从点B出发，沿BC向点C匀速运动，速度为1cm/s同时，点Q从点A出发，沿AB向点B匀

速运动，速度为1cm/s；点E为点P关于AD的对称点．连接PQ、FQ、EF、AE．设运动时间为t（s）（0＜

t＜4），解答下列问题：

（1）当PQ∥AE时，求t的值；

2

（2）设四边形AEPQ的面积为y（cm），试确定y与t的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使∠DFE＝∠AFQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理

由．

3217-129

12y=t-3t+12(0t4)3

【答案】（）t=9-41；（）；（）存在，t=

104

1PQ//AE△BPQ∽△BEA

【详解】解：（）当时，，

BQBP