2023-2024学年上海市格致中学高三下学期三模数学试卷含详解.docx

格致中学高三三模数学试卷

2024.05

一,填空题（本大题共12题,第1-6题每小题4分,第7-12题每小题5分,满分54分）

1．函数的定义域是．

2．函数的零点是.

3．底面半径长为,母线长为的圆柱,体积为

4．已知直线的倾斜角为,且直线与直线：垂直,则

5．已知,方程的一个根为（为虚数单位）,则

6．数列满足（为正整数）,且与的等差中项是5,则首项

7．内角的对边分别为,若的面积为,则

8．已知空间向量,,共面,则实数

9．用1~9这九个数字组成的无重复数字的四位数中,各个数位上数字和为偶数的奇数共有个

10．若,则

11．舒腾尺是荷兰数学家舒腾（1615-1660）设计的一种作图工具,如图,是滑槽的中点,短杆可绕转动,长杆通过处的铰链与连接,上的栓子可沿滑槽滑动,当点在滑槽内作往复移动时,带动点绕转动,点也随之而运动,记点的运动轨迹为,点的运动轨迹为.若,,且,过上的点向作切线,则切线长的最大值为

12．已知正方形的边长为2,中心为,四个半圆的圆心均为正方形各边的中点（如图）,若在上,且,则的最大值为．

二,选择题（本大题共4题,第13,14题每小题4分,第15,16题每小题5分,满分18分）

13．在区间上,是函数在该区间严格增的（????）条件

A．充分不必要 B．必要不充分

C．充要 D．既不充分也不必要

14．某校1000名学生参加数学期末考试,每名学生的成绩服从,成绩不低于120分为优秀,依此估计优秀的学生人数约为（????）附：若,则.

A．23 B．46 C．159 D．317

15．设双曲线的左,右焦点分别为,,,过作x轴的垂线,与双曲线在第一象限的交点为A,点Q坐标为且满足,若在双曲线C的支上存在点P使得成立,则双曲线C的离心率的取值范围是

A． B． C． D．

16．已知成等比数列,且．若,则

A． B． C． D．

三,解答题（本大题共有5题,满分78分）

17．已知,函数是定义在上的奇函数,且.

(1)求的解析式,

(2)判断的单调性,并用函数单调性的定义加以证明.

18．许多小朋友热衷于“套娃娃”游戏.在一个套娃娃的摊位上,若规定小朋友套娃娃成功1次或套4次后游戏结束,每次套娃娃成功的概率为,每次套娃娃费用是10元.

(1)记随机变量为小朋友套娃娃的次数,求的分布列和数学期望,

(2)假设每个娃娃价值18元,每天有30位小朋友到此摊位玩套娃娃游戏,求摊主每天利润的期望.

19．如图,在四棱锥中,已知底面为矩形,侧面是正三角形,侧面底面是棱的中点,.

(1)证明：平面,

(2)若二面角为,求异面直线与所成角的正切值.

20．已知椭圆：,,分别为左,右焦点,直线过交椭圆于,两点.

(1)求椭圆的离心率,

(2)当,且点在轴上方时,求,两点的坐标,

(3)若直线交轴于,直线交轴于,是否存在直线,使得？若存在,求出直线的方程,若不存在,请说明理由.

21．已知,,是自然对数的底数.

(1)当时,求函数的极值,

(2)若关于的方程有两个不等实根,求的取值范围,

(3)当时,若满足,求证：.

1．

【分析】根据题意得,求解对数不等式即可.

【详解】解：要使函数有意义,需满足,则,所以,定义域为.

故答案为：.

2．##

【分析】直接解方程即可.

【详解】令,

得,

即函数的零点是.

故答案为：.

3．

【分析】根据给定的条件,利用圆柱的体积公式计算即得.

【详解】底面半径长为,母线长为的圆柱,体积为.

故答案为：

4．

【分析】根据题意,求得直线的斜率,结合直线,互相垂直算出的斜率,进而求出倾斜角的大小．

【详解】直线即,斜率,

因为直线,互相垂直,所以直线的斜率,

直线的倾斜角为,则,结合,可知．

故答案为：．

5．6

【分析】根据题意可知：方程的另一个根为,利用韦达定理运算求解.

【详解】因为方程的一个根为,

可知方程的另一个根为,

所以.

故答案为：6.

6．1

【分析】根据已知条件,结合等差数列,等比数列的性质,即可求解．

【详解】数列满足为正整数）,则数列为等比数列,

不妨设其公比为,则,

因为与的等差中项是5,

所以,即,解得．

故答案为：1．

7．

【分析】由余弦定理可得,根据条件结合三角形的面积公式可得从而可得答案.

【详解】由余弦定理可得,所以

的面积为

所以即,由

所以

故答案为：

8．3

【分析】根据空间向量共面得到,得到方程,求出

【详解】设,即,

故,解得.

故答案为：3

9．840

【分析】根据题意先分类然后分步,进而结合排列,组合即可求解.

【详解】1~9这九个数字中由5个奇数和4个偶数,

要使四位数满足各个