广东省珠海市2025届高三第一次摸底考试数学试题.docx

珠海市2025届高三第一次摸底考试

数学

本卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分.考试时间120分钟.

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.

4．考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.

1.已知全集，集合，则（）

A. B.

C. D.

2.复数（i为虚数单位），z的共轭复数为（）

A. B. C. D.

3.在△ABC中，D是BC上一点，满足，M是AD的中点，若，则（）

A. B.1 C. D.

4.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（）

A.6 B. C. D.

5.一个内角为30°的直角三角形，分别以该三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积从小到大之比为（）

A. B. C. D.

6.已知函数在R上没有零点，则实数a的取值范围是（）

A. B. C. D.

7.函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误是（）

A.

B.函数图象关于点对称

C.函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为

D.若，则函数的最大值为

8.若不等式对一切恒成立，其中，e为自然对数的底数，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设A，B为随机事件，且，是A，B发生的概率．，则下列说法正确的是（）

A.若A，B互斥，则

B.若，则A，B相互独立

C若A，B互斥，则A，B相互独立

D.与相等

10.设，则下列说法正确的是（）A.函数的图象与圆有且只有两个公共点

B.存在无数个等腰三角形ABD，其三个顶点都在函数的图象上

C.存在无数个菱形ABCD，其四个顶点都在函数图象上

D.存在唯一的正方形ABCD，其四个顶点都在函数的图象上

11.中国结是一种手工编织工艺品，其外观对称精致，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，中国结有着复杂曼妙的曲线，其中的八字结对应着数学曲线中的双纽线.已知在平面直角坐标系中，到两定点，距离之积为常数的点的轨迹C是双纽线.若是曲线C上一点，则下列结论正确的是（）

A.曲线C的图象关于原点对称

B.曲线C经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点）

C.曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过3

D.曲线C上有且仅有3个点P满足

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.直线与曲线相切，则______．

13.已知点P在双曲线上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为45，则______．

14.甲、乙两班参加了同一学科的考试，其中甲班50人，乙班40人．甲班的平均成绩为72分，方差为90分；乙班的平均成绩为90分，方差为60分．那么甲、乙两班全部90名学生的平均成绩是______分，方差是______分．

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.在中，角，，对边分别为，b，其中，，且．

（1）求的值；（2）若的外接圆半径为5，求面积的最大值．

16.如图，三棱柱中，侧面底面，，，点是棱中点．

（1）证明：；

（2）求面与面夹角的正切值．

17.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，点在椭圆C上，直线．

（1）若直线l与椭圆C有两个公共点，求实数t的取值范围；

（2）当时，记直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P，Q为椭圆C上两动点，求四边形PAQB面积的最大值．

18.设函数，．

（1）试判断的单调性；

（2）证明：对任一，有，当且仅当时等号成立．

19.对于数列an，若存在常数，，使得对任意的正整数，恒有成立，则称数列an是从第项起的周期为的周期数列．当时，称数列an为纯周期数列；当时，称数列an为混周期数列