人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册同步讲义-1.1空间向量及其运算(含解析).doc

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1.1空间向量及其运算

知识梳理

知识梳理

1、空间向量的有关概念

名称

定义

空间向量

在空间中，具有大小和方向的量

相等向量

方向相同且模相等的向量

相反向量

方向相反且模相等的向量

共线向量

(或平行向量)

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

共面向量

平行于同一个平面的向量

2、空间向量的有关定理

〔1〕共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：eq\o(OA,\s\up6(→))＝xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点

〔2〕共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.

在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x＋y＋z＝1)，O为空间任意一点

3、空间向量的数量积及运算律

〔1〕数量积及相关概念

①两向量的夹角：两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，假设〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.

〔2〕空间向量数量积的运算律：

①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

知识典例

知识典例

题型一空间向量根本关系

例1向量互为相反向量，＝3，那么以下结论正确的选项是〔〕

A． B．为实数0

C．与方向相同 D．＝3

【答案】D

【详解】

向量互为相反向量，

那么模相等、方向相反.

.

应选：D.

稳固练习

稳固练习

1、以下说法正确的选项是〔〕

A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B．空间的基底有且仅有一个

C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D．基底中基向量与基底基向量对应相等

【答案】C

【解析】

【分析】

根据空间向量根本定理判断选项可解.

【详解】

项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底,所以错.

项，空间基底有无数个,所以错.

项中因为基底不唯一，所以错.

应选.

2、在以下命题中：

①假设、共线，那么、所在的直线平行；

②假设、所在的直线是异面直线，那么、一定不共面；

③假设、、三向量两两共面，那么、、三向量一定也共面；

④三向量、、，那么空间任意一个向量总可以唯一表示为.

其中正确命题的个数为〔〕

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【详解】

①假设、共线，那么、所在的直线平行或重合；所以①错；

②因为向量是可以自由移动的量，因此即使、所在的直线是异面直线，、也可以共面；所以②错；

③假设、、三向量两两共面，因为两平面的关系不确定，因此、、三向量不一定共面；所以③错；

④假设三向量、、共面，假设向量不在该平面内，那么向量不能表示为，所以④错.

应选：A.

题型二空间向量的表示

例2如图，在平行六面体中，与的交点为，点在上，且，那么以下向量中与相等的向量是〔〕

A． B．

C． D．

【答案】C

解：因为，所以，

在平行六面体中，

，

应选：C

【点睛】

稳固练习

稳固练习

1、在四面体中，点在上，且，为中点，那么等于〔〕

A． B．

C． D．

【答案】B

解：在四面体中，点在上，且，为中点，

所以

，

即.

应选：B.

2、在四面体中，、分别是、的中点，假设记，，，那么______.

【答案】

解：在四面体中，、分别是、的中点，

那么

.

故答案为：.

题型三基底问题

例3〔多项选择〕设，，是空间一个基底，那么()

A．假设⊥，⊥，那么⊥

B．那么，，两两共面，但，，不可能共面

C．对空间任一向量，总存在有序实数组(x，y，z)，使

D．那么＋，＋，＋一定能构成空间的一个基底

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据基底的概念，对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】

对于A选项，与都垂直，夹角不一定是，所以A选项错误.

对于B选项，根据基底的概念可知，，两两共面，但，，不可能共面.

对于C选项，根据空间向量的根本定理可