2025年课标高考文数版习题与历届真题试卷-五年高考考点一　直线与平面垂直的判定和性质(带答案解析).docx

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8.4直线、平面垂直的判定和性质

五年高考

考点一直线与平面垂直的判定和性质

1.(2019北京,13,5分,创新性)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:

①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.

以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.?

答案若l⊥m,l⊥α,则m∥α(答案不唯一)

2.(2024新高考Ⅰ,20,12分,综合性)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.

(1)证明:OA⊥CD;

(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.

解析(1)证明:在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,∴AO⊥BD,又∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO?平面ABD,∴AO⊥平面BCD,又CD?平面BCD,∴AO⊥CD.

(2)在△ABD中,过E作EN∥AO交BD于N,

则由AO⊥平面BCD得EN⊥平面BCD,∴EN⊥BC,

∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.

在△BCD中,过N作NM∥CD交BC于M,则NM⊥BC.

连接EM,∵BC⊥EN,BC⊥NM,EN∩NM=N,∴BC⊥平面EMN,∴EM⊥BC,

∴∠EMN为二面角E-BC-D的平面角,又知二面角E-BC-D的大小为45°,∴∠EMN=45°,∴△EMN为等腰直角三角形,

又由DE=2EA得DN=2NO,

∴MN=23

∴AO=OD=1,∴VA-BCD=13S△BCD·AO=13×

3.(2024全国甲,19,12分,综合性)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,BF⊥A1B1.

(1)求三棱锥F-EBC的体积;

(2)已知D为棱A1B1上的点.证明:BF⊥DE.

解析(1)∵侧面四边形AA1B1B为正方形,∴A1B1⊥BB1,∵BF⊥A1B1且BB1∩BF=B,BB1,BF?平面BB1C1C,∴A1B1⊥平面BB1C1C,

又∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面BB1C1C,

又∵BC?平面BB1C1C,∴AB⊥BC,

∵AB=BC=2,E为AC的中点,

∴S△EBC=12S△ABC=1

由直三棱柱知CF⊥平面ABC.

∵F为CC1的中点,

∴CF=12

∴VF-EBC=13S△EBC·CF=1

(2)证明:连接A1E,B1E,

∵AB=BC,E为AC的中点,∴BE⊥AC.

∵AA1⊥平面ABC,BE?平面ABC,∴AA1⊥BE.

∵AA1∩AC=A,AA1,AC?平面AA1C1C,

∴BE⊥平面AA1C1C,又A1E?平面AA1C1C,∴BE⊥A1E.

在Rt△ECF中,tan∠FEC=CFCE

在Rt△A1AE中,tan∠AA1E=AEA

∴tan∠FEC=tan∠AA1E,∴∠FEC=∠AA1E,

∵∠AA1E+∠AEA1=90°,

∴∠FEC+∠AEA1=90°,

∴∠A1EF=90°,即A1E⊥EF.

∵EF∩EB=E,又EF,EB?平面BEF,

∴A1E⊥平面BEF,又BF?平面BEF,∴A1E⊥BF,

又∵A1B1⊥BF,A1E∩A1B1=A1,A1E?平面A1B1E,A1B1?平面A1B1E,∴BF⊥平面A1B1E.

∵DE?平面A1B1E,∴BF⊥DE.

4.(2019课标Ⅱ,17,12分,综合性)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BE⊥EC1.

(1)证明:BE⊥平面EB1C1;

(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.

解析(1)证明:由已知得B1C1⊥平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1C1⊥BE.又BE⊥EC1,所以BE⊥平面EB1C1.

(2)由(1)知∠BEB1=90°.由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E,所以∠AEB=∠A1EB1=45°,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.

作EF⊥BB1,垂足为F,则EF⊥平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13

解题关键由长方体的性质找BE的垂线和平面BB1C1C的垂线是求解的关键.

5.(2017课标Ⅲ,19,12分,综合性)如图,四面体ABCD中,△ABC是正三角形,AD=CD.

(1)证明:AC⊥BD;

(2)已知△ACD是直角三角形,AB=BD.若E为棱BD上与D不重合的点,且AE⊥EC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.

解析(1)证明:取AC的中点O,连接DO,BO.

因为AD=CD