2025年课标高考文数每日习题真题分类9.5　圆锥曲线的综合问题(带答案解析).docx

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9.5圆锥曲线的综合问题

综合篇知能转换

A组

考法一求轨迹方程

1.(2024南宁摸底,6)在平面内,|AB|=2a(a为常数,且a1),动点C满足:AC·BC=-1,则点C的轨迹为()

A.圆B.椭圆

C.抛物线D.直线

答案A

2.(2024豫南九校联考,6)设线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,且|AB|=5,OM=35OA+

A.x29+y24=1B.

C.x225+y29=1D.

答案A

3.(2024届山西百校联盟联考(一),10)已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点的轨迹方程为()

A.x24-y23=1(x≠0)B.

C.x24-y23=1(y≠0)D.

答案D

4.(2024届南昌摸底,21)已知圆M:x2+(y-1)2=8,点N(0,-1),P是圆M上一动点,若线段PN的垂直平分线与PM交于点Q.

(1)求点Q的轨迹C的方程;

(2)若直线l与曲线C交于A,B两点,D(1,0),直线DA与直线DB的斜率之积为16

解析(1)由题意可知,|QN|=|QP|,

因为点P是圆M上的动点,所以|PM|=|PQ|+|QM|=22,所以|QN|+|QM|=222=|MN|,

由椭圆的定义可知,点Q的轨迹C是以M,N为上、下焦点的椭圆.

设椭圆的方程为y2a2

则a=2,c=1,则b=a2

所以点Q的轨迹C的方程为y22+x

(2)由题意可得,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=kx+m,

易知D(1,0)在椭圆C上,结合题意知直线l不过点D,所以k+m≠0.

由y22+x2=1,y=kx+m,消去y,得(k2

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2kmk2+2,x1

所以kDA·kDB=y1x1-1·y2x2-1=kx1+m

代入m2k2+2,得169121k2k2+2,即k∈-

又若k=0,则直线l:y=0,过点D,不符合题意,所以k≠0,

所以直线l斜率的取值范围为-11612

5.(2017课标Ⅱ,20,12分)设O为坐标原点,动点M在椭圆C:x22+y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足NP=

(1)求点P的轨迹方程;

(2)设点Q在直线x=-3上,且OP·PQ=1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

解析(1)设P(x,y),M(x0,y0),

则N(x0,0),NP=(x-x0,y),NM=(0,y0).

由NP=2NM得x0=x,y0=2

因为M(x0,y0)在C上,所以x22+

因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.

(2)证明:由题意知F(-1,0).设Q(-3,t),P(m,n),则OQ=(-3,t),PF=(-1-m,-n),OP=(m,n),PQ=(-3-m,t-n),则OQ·PF=3+3m-tn,

由OP·PQ=1得-3m-m2+tn-n2=1,

又由(1)知m2+n2=2,故3+3m-tn=0.

所以OQ·PF=0,即OQ⊥PF.

又过点P存在唯一直线垂直于OQ,

所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

考法二定值与定点问题的解题方法

1.(2024届西南四省联考(一),20)设椭圆E:x2a2+y2b

(1)求椭圆E的标准方程;

(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A,B,过定点N(-1,0)的直线与椭圆E交于C,D两点(与A,B不重合),证明:直线AC,BD的交点的横坐标为定值.

解析(1)由题意知,3a2

所以椭圆E的标准方程为x24+y

(2)证明:设过点N(-1,0)的直线方程为x=my-1,

代入椭圆E的方程,整理得(m2+4)y2-2my-3=0,

Δ=4m2+12(m2+4)=16(m2+3)0,

设C(x1,y1),D(x2,y2)(x1,x2≠±2),

则y1+y2=2mm2+4,y1y

由(1)得A(-2,0),B(2,0),

则直线AC的方程为y=y1x1

联立两直线方程,消去y,整理得x=2·(x

将x1=my1-1,x2=my2-1代入②,

整理得x=2·2m

把①代入③,整理得x=2·-4

所以直线AC,BD的交点的横坐标为定值-4.

2.(2024新高考Ⅰ,22,12分)已知椭圆C:x2a2+y

(1)求C的方程;

(2)点M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D为垂足.证明:存在定点Q,使得|DQ|为定值.

解析(1)由题设得4a2+1b2=1,

解得a2=6,b2=3.所以C的方程为x26+

(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2).

若直线MN与x轴不垂直,设直线