精品解析：北京师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学模拟试卷（原卷版）.docxVIP

北京师大附中2024—2025学年（上）高二期中考试

数学模拟试卷

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1.直线x-y+1=0的倾斜角是（）

A. B. C. D.

2如果向量，则（）

A. B. C. D.

3.已知，是两个不重合的平面，且直线，则“”是“”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C充要条件 D.既不充分也不必要条件

4.如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点是的中点.已知，，，则（）

A. B. C. D.

5.已知、，则线段上靠近的三等分点的坐标为（）

A. B. C. D.

6.设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是（）

①若，则与所成的角为30°；

②若与所成角为，则；

③若，则平面与所成的锐二面角为60°；

④若平面与所成的角为60°，则

A.③ B.①③ C.②④ D.①③④

7.若点与的中点为，则直线必定经过点（）

A. B. C. D.

8.三棱锥中，两两垂直，，，则二面角的余弦值为（）

A. B. C. D.

9.三棱锥中，平面，，若，，则三棱锥的体积的最大值为（）

A.4 B. C.2 D.

10.如图，在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC、的中点，P是侧面内一点（包括边界），则以下命题中，不正确的是（）

A.平面截正方体所得截面为等腰梯形

B.存在点P，使平面AEF；

C.若平面AEF，则线段长度的取值范围是；

D.若点P在线段上，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为.

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.直线过点P(1，2)，且它的一个方向向量为(2，1)，则直线l的一般式方程为__________．

12.若，，为共面向量，则的值为_________.

13.正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为_________.

14.如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．

15.如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论：

①直线与平面所成角为45°；

②二面角的余弦值为；

③点到平面的距离为定值；

④线段长度的取值范围是

其中所有正确结论的序号是____________

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.已知平行四边形的三个顶点分别为，，.

（1）求边CD所在直线的方程；

（2）求四边形的面积.

17.在中，，，从①；②；③这三个条件中任选一个作为题目的已知条件.

（1）求的值；

（2）求面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.已知三棱锥，平面平面，点D是的中点，，.

（1）求证：；

（2）求直线DB与平面所成角的正弦值；

（3）求点C到平面的距离.

19.在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且.如图，将沿折起至，使得平面平面.

（1）当时，求证：；

（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

20.已知正方体，点分别为的中点，直线交平面于点.

（1）证明：为中点；

（2）求异面直线与所成角的大小；

（3）若点为棱上一点，二面角余弦值为，求的值.

21.对于向量，若三个实数互不相等，令向量，其中，，，（）.

（1）当时，直接写出向量；

（2）证明：对于，向量中三个实数至多有一个为0；

（3）若，证明：，.