人教版高中数学选择性必修第二册4.3.1（第一课时）等比数列的概念及通项公式 课件.pptxVIP

4.3.1等比数列的概念及通项公式

人教A版(2019)

选择性必修第二册

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将一张很大的薄纸对折，对折30次后有多厚?不妨假设这张纸的厚

度为0.01毫米。

厚度2(2¹)4(2²)8(2³)16(2⁴)..230

2想一想你能折到30次吗?

当折到30次时(纸的厚度为0.01毫米),估算纸的厚度。

提示：

0.01毫米=0.01×10-³米

30次后，纸厚度为230×0.01×10-³=10737.41824(米)

这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度。

如果纸再薄一些，比如纸厚0.001毫米，对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了。

折1次折2次折3次折4次...折30次

1看一看纸的厚度的变化

提示：

等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个

常数”,类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，你觉得还有怎样的数列是值得研究的?

2.《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”如果把“一

尺之棰”的长度看成单位“1”,那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是

请看下面几个问题中的数列.

1.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥板上记录了下面的数列：

9,92,93,…,910;

①

100,100²,100³,…,10010

;②

5,52,53,…,510

③

④

3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每20min就通过分裂繁

殖一代，那么一个这种细菌从第1次分裂开始，各次分裂产生的后代个数是

2,4,8,16,32,64,…⑤

4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r,那么按照复利，他5年内每年末得到的本利和分别是

a(1+r),a(1+r)²,a(1+r)³,a(1+r)⁴,a(1+r)⁵⑥

探究

类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值

规律?你发现了什么规律?

提示：通过除法运算研究以上数列的取值规律.

这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项比都等于9.

其余几个数列也有这样的取值规律，请你写出相应的规律.

如果用{an}表示数列①,那么有

,

,

口

■

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，

那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(显然q≠0)

思考

类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗?

(q为常数，q≠0,n∈N*)

即

新知讲解

注：

(1)“从第2项起”,也就是说等比数列中至少含有三项；

(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”;

(3)任意一项an≠0且q≠0

(4)“同一常数q”,q是等比数列的公比，即

特别注意，q不可以为零，当q=1时，等比数列为非零常数列，非零常数列是特殊的等比数列.

●

a(1+r),a(1+r)²,a(1+r)³,a(1+r)⁴,a(1+r)⁵

数列①~⑥的公比依次是9,100,5,,2,1+r.

9,92,93,…,910;

100,100²,100³,…,10010;

5,5²,5³,…,510

①

②

③④⑤

下面数列的公比是?

2,4,8,16,32,64,…

⑥

·

,

如果在a和b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列，那么G叫做

a与b的等比中项.此时G²=ab.

注：

(1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项G=±√ab,即等比中项有两个，且互为相反数.

(2)当G²=ab时，G不一定是a与b的等比中项.例如o²=5×0,但0,0,5不是等比数列.

探究你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗?

设一个等比数列{an}的公比为q,根据等比数列的定义，可得

an+1=an·q.

所以

a₂=a1q

a₃=a₂q=(a₁q)q=a₁q²,

a₄=a₃q=(a₁q²)q=a₁q³,

7

由此可得

an=a₁qn-1(n≥2).

又a₁=a₁q⁰=a₁q¹-1,这就是说，当n=1时上式也成立.

首项为a₁,公比为q的等比数列{an}的通项公式为

当q0且q≠1时，等比数列{an}的第n项an

是指数函·qx(x∈R)当x=n时的函数值

即an=f(n)(如图4.3-1所示).

反之，任给指数函数

f(x)=ka×(k,a为常数，k≠0,