人教版高中数学选择性必修第二册5.2.1-5.2.2 基本初等函数的导数导数的四则运算法则【课件】.pptxVIP

5.2.1-5.2.2基本初等函数的导数

导数的四则运算法则

人教A版(2019)

选择性必修第二册

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由导函数的定义可知，一个函数的导数是唯—确定的.

在必修第一册中我们学过初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”,这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节我们就来研究这些问题.

5.2.1基本初等函数的导数

根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数，就是求出当△x→0时，无限趋近的那个定值.下面我们求几个常用函数的导数.

若y=c(图5.2-1)表示路程关于时间的函数，则y′=0可以解释为某物体

的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态.

因为

所以

1.函数y=f(x)=c的导数

图5.2-1

若y=x(图5.2-2)表示路程关于时间的函数，则y=1可以解释为某物体

的瞬时速度为1的匀速直线运动.

因为

所以

2.函数y=f(x)=x的导数

图5.2-2

图5.2-3

y¹=2x表示函数y=x²的图象(图5.2-3)上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化，切线的斜率也在变化.

另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，y¹=2x表明：当x0时，随着x的增加，|y|越来越小，y=x²减少的越来越慢；当x0时，随着x的增加，|y|越来越大，y=x²增加的越来越快.

若y=x²表示路程关于时间的函数，则y=2x可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.

3.函数y=f(x)=x²的导数

因为

所以

因为

=3x²+3x·△x+(△x)²

所以

y¹=3x²表示函数y=x³的图象(图5.2-4)上点(x,y)处切线的斜率为3x²,这说明随

着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为负数.

4.函数y=f(x)=x³的导数

图5.2-4

=3x²

因为

所以

的导数

因为

所以

6.函数y=f(x)=√x的导数

原函数

导函数

①f(x)=C(C为常数)

f(x)=0

②f(x)=xa(a∈Q,a≠0)

f(x)=axα-1

③f(x)=sinx

f(x)=cOsx

④f(x)=cosx

f(x)=—sinx

⑤f(x)=a*(a0,且a≠1)

f(x)=a×Ina(a0,a≠1)

⑥f(x)=ex

f(x)=ex

⑦f(x)=logax(a0,且a≠1)

f(x)=xina(a0,a≠1)

⑧f(x)=Inx

(1)对于幂函数型函数的导数，x为自

变量，α为常数，可推广到α∈R也成立；

(2)对于正、余弦函数的导数，关键是符号，余弦函数的导数是正弦函数前加一负号，而正弦函数的导数是余弦函数；

(3)注意指数函数、对数函数导数公式中字母a的范围；

(4)公式⑥是公式⑤的特例，公式⑧是公式⑦的特例；

(5)要重视公式⑤和⑦,对指数和对数的运算要准确.

导数公式表

注意以下五点：

例1求下列函数的导数：

(1)

(2)y=log2x

解：

例2假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位：元)与时

间t(单位：年)有如下函数关系

p(t)=p₀(1+5%)t

其中p₀为t=0时的物价.假定某种商品的po=1,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)?

解：根据基本初等函数的导数公式表，有

p(t)=1.05tIn1.05

所以

p(10)=1.0510In1.05≈0.08

所以，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08/年的速度上涨.

5.2.2导数的四则运算法则

在例2中，当po=5时，p(t)=5×1.05t.这时，求p关于t的导数可以看成求函数f(t)=5与g(t)=1.05乘积的导数.

一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢?

思考

设f(x)=x²,g(x)=x,计算[f(x)+g(x)]与[f(x)-g(x)],它们与f(x)和g(x)有什么关系?

设y=f(x)+g(x)=x²+x

而f(x)=(x²)=2x,g(x)=x¹=1

所以[f(x)+g(x)]=f(x)+g(x)

同样地，对于上述函数，

[f(x)-g(x)]=f(x)-g(x)

因为

所以

=△x+2x+1

一般地，对于两个函数f(x)和g(x)的和