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数学八年级上册

教师教学用书

附录二学科知识拓展

合同变换

把一个几何图形按照某种法则或规律变换成另一种几何图形的过程叫做几何变换.因为

几何图形是点的集合，所以几何变换都是通过点的变换实现的.

用公理化思想方法讨论几何，从某种意义上说，是用静止的观点研究几何.几何变换体

现了一种运动变化的思想，可以说它是用运动的观点研究几何.把“几何”与“变换”联系

起来，为用近代数学方法讨论几何问题开辟了广阔的前景，因此促进了几何学的发展.不仅

如此，几何变换本身在绘图、机械设计、航空摄影测量、电路网络等方面都有广泛的应用.

利用几何变换的理论与方法讨论初等几何，是用现代数学的思想方法处理综合几何的

一种重要途径.世界各国在中小学课程改革中，都注意增加几何变换的内容，或渗透几何变

换的思想.可以说，加强几何变换是世界各国中小学几何课程内容改革的共同趋势.

中学涉及的几何变换，主要有合同变换和相似变换.

1.映射

设A，B是两个非空集合，如果一个对应法则f，使得A中的每一个元素在B中都有唯

一的元素与之对应，那么f就叫做从集合A到集合B的映射.映射也称为单值对应.

2.变换

一个集合到它本身的映射叫做这个集合的变换.

3.合同变换

如果平面到其自身的某一变换，使得任意两点A，B和它们的像A，B之间，总

｜｜=｜｜

有ABAB，那么这种变换称为合同变换.

合同变换也称为全等变换、正交变换、保距变换等.

合同变换的基本形式有：平移变换、旋转变换、直线反射变换.

4.平移变换

如果平面到其自身的某一变换，把任意一点P变换到P，并且射线PP有给定的方

向，线段PP有给定的长度，那么这种变换叫做平移变换，其中射线的方向叫做平移的

方向.

在平面直角坐标系中，把平面上的点P（x，y）沿坐标为（a，b）的向量平行地移动

到点P（x，y）的变换叫做平移变换.它的代数表示式为

=+

xxa，

=+

yyb.

5.旋转变换

如果平面到其自身的某一变换，使点O变换到它自身，其他任何点X变换到X，并

=∠=°≤≤°

且OXOX，XOXθ（0θ180），从射线OX到OX的方向与已知角θ的定向

190

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相同（如图），那么这种变换叫做绕中心O、按已知方向旋

θθ

转角的旋转变换，其中点O称为旋转中心，称为旋转角.

旋转变换下每条直线与其对应直线的夹角都等于旋转角.

在平面直角坐标系中，把平面上的点P（x，y）绕点

P0（x0，y0）旋转一个定角θ变到点P（x，y）的变换叫做旋

转变换.它的代数表示式为