必威体育精装版将军饮马问题讲义名师资料合集 .pdfVIP

必威体育精装版将军饮马问题讲

义名师资料合集

必威体育精装版将军饮马问题讲义名师资料合集

将军饮马问题

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句

说:白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.

诗中隐含着一个有趣的数学问题.

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下

的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营.

请问怎样走才能使总的路程最短?

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一

位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军

专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸

同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短?从此，这个

被称为将军饮马的问题广泛流传.

将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是

工具，最短距离是题眼）。所谓轴对称是工具，即这类问

题最常用的做法就是作轴对称。而最短距离是题眼，也就

意味着归类这类的题目的理由。比如题目经常会出现线段

a+b这样的条件或者问题。一旦出现可以快速联想到将军

问题，然后利用轴对称解题。

一．六大模型

1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，

2/9

必威体育精装版将军饮马问题讲义名师资料合集

在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，

在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。

3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作

点A，B。

使△PAB的周长最小.

4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON

上作点A，B。

使四边形PAQB的周长最小。

5.如图，点A是∠MON外的一点，在射线ON上作点P，

使PA与点P到射线OM的距离之和最小

6..如图，点A是∠MON内的一点，在射线ON上作点

P，使PA与点P到射线OM的距离之和最小

3/9

必威体育精装版将军饮马问题讲义名师资料合集

常见问题

首先明白几个概念，动点、定点、对称点。动点一般就

是题目中的所求点，

即那个不定的点。定点即为题目中固定的点。对称的点，

作图所得的点，需要连

线的点。

1.怎么对称，作谁的对称？。简单说所有题目需要作对

称的点，都是题目的定点。或者说只有定点才可以去作对

称的。（不确定的点作对称式没有意义的）那么作谁的对

称点?首先要明确关于对称的对象肯定是一条线，而不是一

个点。那么是哪一条线？一般而言都是动点所在直线。

2.对称完以后和谁连接？

一句话：和另外一个定点相连。绝对不能和一个动点相

连。明确一个概念：定点的对称点也是一个定点。例如模

型二和模型三。

3.所求点怎么确定？

首先一定要明白，所求点最后反应在图上一定是个交点。

实际就是我们所画直线和已知直线的交点。

下面我们来看看将军饮马与二次函数结合的问题：

4/9

必威体育精装版将军饮马问题讲义名师资料合集

1.如图，抛物线y=ax+bx+c经过A（1，0）、B（4，

2

0）、C（0，3）三点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四

边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长

的最小值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设交点式为y=a（x﹣1）（x﹣4），然后把

C点坐标代入求出a=，于是得到抛物线解析式为y=x2

﹣x+3；

（2）先确定