有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略(解析版) .pdfVIP

利用轴对称的性质解决有关将军饮马问题之压轴题四种模型全攻略

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目录

【典型例题】

【类型一几何图形中的最小值问题】

【类型二实际问题中的最短路径问题】

【类型三一次函数中线段和最小值问题】

【类型四一次函数中线段差最大值问题】

【典型例题】

【类型一几何图形中的最小值问题】

1(2023浙江·八年级假期作业·)如图，CD是△ABC的角平分线，△ABC的面积为12，BC长为6，点E，F

分别是CD，AC上的动点，则AE+EF的最小值是()

A.6B.4C.3D.2

【答案】B

【分析】作A关于CD的对称点H，由CD是△ABC的角平分线，得到点H一定在BC上，过H作HF⊥

AC于F，交CD于E，则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，过A作AG⊥BC于G，根

据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．

【详解】解：作A关于CD的对称点H，

∵CD是△ABC的角平分线，

∴点H一定在BC上，

过H作HF⊥AC于F，交CD于E，

则此时，AE+EF的值最小，AE+EF的最小值=HF，

过A作AG⊥BC于G，

∵△ABC的面积为12，BC长为6，

∴AG=4，

∵CD垂直平分AH，

1

∴AC=CH，

11

∴S=AC⋅HF=CH⋅AG，

△ACH22

∴HF=AG=4，

∴AE+EF的最小值是4，

故选：B．

【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证

明AE+EF的最小值为三角形某一边上的高线．

【变式训练】

1(2023春·山东济南七年级统考期末·)如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是10；AB的垂直

平分线ED分别交AC，AB边于E、D两点，若点F为BC边的中点，点P为线段ED上一动点，则△PBF

周长的最小值为()

A.7B.9C.10D.14

【答案】A

【分析】连接AP，根据线段垂直平分线性质得AP=BP，△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF

≥AF+BF，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF，BF，即可得出答案．

【详解】解：如图所示．连接AP，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AP=BP，

∴△PBF周长=BP+PF+BF=AP+PF+BF≥AF+BF．

连接AF，

∵AB=AC，点F是BC的中点，

∴AF⊥BC，

1

∴S=BC⋅AF=10．

△ABC2

∵BC=4，

∴BF=2，AF=5，

∴△PBF周长的最小值是AF+BF=5+2=7．

故选：A．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据轴对称求线段和最小值等，判断

△PBF周长的最小值是解题的关键．

2

2(2023秋河南许昌·八年级许昌市第一中学