2025年课标高考文数每日习题真题分类9.5　圆锥曲线的综合问题 (4)(带答案解析).docx

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9.5圆锥曲线的综合问题

一、选择题

1.(2024湖北黄石质检)P为双曲线x2-y2=1左支上任意一点,EF为圆C:(x-2)2+y2=4的任意一条直径,则PE·PF的最小值为()

A.3B.4C.5D.9

答案C圆C的圆心为C(2,0),半径r=2,

PE·PF=(PC+CE)·(PC+CF)=(PC+CE)·(PC-CE)=|PC|2-|CE|2=|PC|2-4,则当点P位于双曲线左支的顶点时,|PC|2-4最小,即PE·PF最小.PE·PF的最小值为(1+2)2-4=5.故选C.

2.(2024湖南永州二模,12)抛物线C:y2=4x的焦点为F,P是其上一动点,点M(1,1),直线l与抛物线C相交于A,B两点,下列结论正确的是()

A.|PM|+|PF|的最小值是2

B.动点P到点H(3,0)的距离的最小值为3

C.存在直线l,使得A,B两点关于直线x+y-3=0对称

D.与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N,若直线AB过定点(2,0),则点N在抛物线C的准线上

答案A对于A,过点P作PQ垂直于准线x=-1,垂足为Q,|PM|+|PF|=|PM|+|PQ|,当MP垂直于准线时,|PM|+|PF|的值最小,最小值等于M到准线的距离,为1-(-1)=2,所以A正确;对于B,设P(x,y),则y2=4x,所以|PH|=(x-3)2+y2=x2-6x+9+4x=x2-2x+9=(x-1)2+8≥22,当x=1时,|PH|的值最小,为22,所以B不正确;对于C,假设存在这样的直线l,由题意设直线l的方程为x-y+m=0,A(x1,y1),B(x2,y2),联立x-y+m=0,y2=4x,可得y2-4y+4m=0,由Δ=16-16m0,得m1,因为y1+y2=4,所以x1+x2=y1+y2-2m=4-2m,所以线段AB的中点G的坐标为(2-m,2),由题意可得G在直线x+y-3=0上,所以2-m+2-3=0,解得m=1,不满足m1,所以C不正确;对于D,设A(x1,y1),B(x2,y2),由y

联立x=ny+2,y2=4x

所以xN=14

3.(2024首都师大二附中开学测试,10)曲线C是平面内到定点F(0,1)和定直线l:y=-1的距离之和等于4的点的轨迹,给出下列三个结论:

①曲线C关于y轴对称;

②若点P(x,y)在曲线C上,则|y|≤2;

③若点P在曲线C上,则1≤|PF|≤4.

其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

答案D设曲线C上任意一点为(x,y),则有x2+(y-1)

-1,∴|y|≤2,故②正确.对于③,∵|PF|+|y+1|=4,|y|≤2,∴-2≤y≤2,∴-1≤y+1≤3,∴0≤|y+1|≤3,∴|PF|=4-|y+1|∈[1,4].∴1≤|PF|≤4,故③正确.故选D.

思路分析先求得曲线C的轨迹方程为y=2-

二、填空题

4.(2024山西顶级名校5月联考,15)已知双曲线x2a2-y2b

答案2

解析由题意可知直线l的方程为y=x+a,由y=bax,y=x+a,得Aa2b-a,

5.(2024济南十一学校联考,15)已知点M(-4,-2),抛物线x2=4y的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,过P作PQ⊥l,点Q为垂足,过P作抛物线的切线l1,l1与l交于点R,则|QR|+|MR|的最小值为.?

答案5

解析

设Pm,m24,则Q(m,-1),由x2=4y得y=x2

因为F(0,1),所以kQF=-2m,所以kFQ·k=-1,即FQ⊥l1.连接PF,由抛物线定义得|PF|=|PQ|,所以直线PR为线段QF的中垂线,则|RF|=|RQ|,所以|QR|+|MR|=|RF|+|MR|≥|MF|=(-

6.(2024顺义二模,15)曲线C是平面内与两个定点F1(0,1),F2(0,-1)的距离的积等于32

①曲线C关于坐标轴对称;

②△F1PF2周长的最小值为2+6;

③点P到y轴距离的最大值为22

④点P到原点距离的最小值为22

其中所有正确结论的序号是.?

答案①②④

解析设P(x,y),由题意可得x2+(y+1)2·x2+(y-1)2=32,即[x2+(y+1)2]·[x2+(y-1)2]=94,用-x代换x,或-y代换y,方程不变,所以曲线C关于坐标轴对称,所以①正确;设a=x2

过点P作PE⊥F1F2,则cos∠F1PF2=a2+b2-42ab=a2+b23-43≥13×2ab-43=-13,当且仅当a=b时,等号成立,当∠F1PF2=π2时,sin∠F1PF2取得最大值,所以△F1PF2的最大面