2023-2024学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期末考试数学试卷（A卷）含详解.docx

复旦大学附属中学2023学年第一学期

高一年级数学期末考试试卷（A卷）

考生注意：

1.本试卷共4页,21道试卷,满分150分,考试时间120分钟.

2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试卷与答题要求,作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.

一,填空题（本大题满分54分）本大题共有12题,第1—6题每题4分,第7—12题每题5分,请在答题纸相应编号的空格内直接写结果.

1．函数y=lnx的零点是.

2．函数的对称中心为.

3．已知,用表示.

4．方程的解是.

5．已知幂函数在区间上是严格增函数,则.

6．已知角的终边过点,且,则角的弧度数是.

7．不等式的解集是.

8．已知函数,若对不相等的正数,有成立,则的最小值为.

9．已知函数的值域为,则实数的取值范围为．

10．已知函数是定义域为的奇函数,且.若对任意的,且,都有成立,则不等式的解集是.

11．设,若定义域为的函数的图象关于直线,直线,直线都成轴对称,且在区间上恰有5个零点,则在区间上的零点个数的最小值是.

12．田同学向肖老师请教一个问题：已知三个互不相同的实数,,满足和,求的取值范围.肖老师告诉他：函数在区间上是严格增函数,在区间上是严格减函数,在区间上是严格增函数.根据肖老师的提示,可求得该问题中值范围是.

二,选择题（本大题满分18分）本大题共有4题,第13—14题每题4分,第15—16题每题5分,每题有且只有一个正确选项,请在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.

13．已知集合或,集合,则集合与的关系是（????）

A． B． C． D．以上选项均不正确

14．已知且,则下列不等式一定成立的是（????）

A． B． C． D．

15．已知函数的定义域为,给定下列四个语句：

①在区间上是严格增函数,在区间上也是严格增函数,

②在区间上是严格增函数,在区间上也是严格增函数,

③在区间上是严格增函数,在区间上也是严格增函数,

④在区间上是严格增函数,且是奇函数.

其中是“函数在上是严格增函数”的充分条件的有（????）个.

A．1 B．2 C．3 D．4

16．已知A,B为非空数集,为平面上的一些点构成的集合,集合,集合,给定下列四个命题,其中真命题是（????）

A．若,则 B．若,则

C．若,则 D．若,则

三,解答题（本大题满分78分）本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应的编号规定区域内写出必要的步骤.

17．已知,.

(1)求的值,

(2)求值：.

18．为确保2023年第六届中国国际进口博览会安全顺利进行,上海市公安局决定在进博会期间实施交通管制.经过长期观测发现,某最高时速不超过100千米/小时的公路段的车流量（辆/小时）与车辆的平均速度（千米/小时）之间存在函数关系：.

(1)当车辆的平均速度为多少时,公路段的车流量最大？最大车流量为多少？

(2)若进博会期间对该公路段车辆实行限流管控,车流量不超过4125辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内？

19．设,已知,.

(1)求证：函数不是偶函数,

(2)若对任意的,,总存在,使得成立,求实数的取值范围,

(3)若对任意的,,总有成立,求实数的取值范围.

20．已知函数,其中,是非空数集,且,设,,

（1）若,,求,

（2）是否存在实数,使得,且？若存在,请求出满足条件的实数,若不存在,请说明理由,

（3）若,且,,是单调递增函数,求集合,,

21．设函数,.记,,.对于D的非空子集A,若对任意,都有,则称函数在集合A上封闭.

(1)若,,,分别判断函数和是否在集合A上封闭,

(2)设,,区间（其中）,若函数在集合B上封闭,求的最大值,

(3)设,,若函数的定义域为,函数和的图象都是连续的曲线,且函数在区间（其中）上封闭,证明：存在,使得.

1．x=1

【分析】转化为求解方程lnx=0的根即可.

【详解】由lnx=0可得,

所以函数y=lnx的零点是,

故答案为：.

2．

【分析】把原函数解析式变形得到,可得,换元,令,,原函数化为,可得它的对称中心,即得原函数对称中心。

【详解】由题得,,可得,设,,则原函数化为,与成反比例函数关系且是奇函数,对称中心为,即,解得,因此函数y的对称中心为.

故答案为：

【点睛】本题考查求函数的对称中心,利用了换元法。

3．

【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.

【详解】因为,所以.

故答案为：

4．或

【分析】根据余弦函数的性质计算可得.

【详解】因为,所以或,

即方程的解是或.

故答案为：或.

5．

【分析】根据幂函数的定义及性质得到