苏科版九年级数学上学期期中考点大串讲专题01解一元二次方程【考题猜想，30题5种题型】(原卷版+解析).docxVIP

专题01解一元二次方程（30题5种题型）

一、一元一次方程

1．（2022秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）证明：关于x的方程，不论m取何值，该方程都是一元二次方程．

2．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）为美化市容，某广场要在人行雨道上用10×20的灰、白两色的广场砖铺设图案，设计人员画出的一些备选图案如图所示．

[观察思考]图1灰砖有1块，白砖有8块；图2灰砖有4块，白砖有12块；以此类推．

(1)[规律总结]图4灰砖有______块，白砖有______块；图n灰砖有______块时，白砖有______块；

(2)[问题解决]是否存在白砖数恰好比灰砖数少1的情形，请通过计算说明你的理由．

3．（2019秋·重庆江津·九年级校联考期末）先化简，再求值：，其中，a是方程x2﹣3x+1=0的根．

二、一元二次方程的解法

4．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌鲁木齐市实验学校校考期中）用指定的方法解下列方程：

（1）；（直接开平方法）

（2）；（配方法）

（3）；（公式法）

（4）．（因式分解法）

5．（2022秋·福建龙岩·九年级龙岩二中校考期中）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：

(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？

(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？

6．（2022秋·河北邯郸·九年级统考期中）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．

用“”或“”填空：a_______b，ab_______0；

（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．

①x2+2x?1=0；②x2?3x=0；③x2?4x=4；④x2?4=0．

7．（2022秋·福建泉州·九年级晋江市第一中学校考期中）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x2＋x＝0是“差1方程”．

(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；

①x2﹣5x﹣6＝0；

②x2﹣x＋1＝0；

(2)已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“差1方程”，求m的值；

(3)若关于x的方程ax2＋bx＋1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”，设t＝10a﹣b2，求t的最大值．

8．（2023秋·河南平顶山·九年级统考期末）已知关于，的方程组与的解相同．

（1）求，的值；

（2）若一个三角形的一条边的长为，另外两条边的长是关于的方程的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．

9．（2021秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）已知：关于x的一元二次方程

(1)已知x=2是方程的一个根，求m的值；

(2)以这个方程的两个实数根作为△ABC中AB、AC（ABAC）的边长，当BC=时，△ABC是直角三角形，求此时m的值．

10．（2022秋·江苏·九年级期中）定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．

（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．

（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．

（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．

11．（2022秋·江西赣州·九年级统考期中）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：

小敏：

两边同除以，得

，

则．

小霞：

移项，得，

提取公因式，得．

则或，

解得，．

你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．

12．（2021秋·湖南·九年级校联考期中）阅读下列问题与提示后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．

问题：解方程（提示：可以用换元法解方程），

解：设，则有，

原方程可化为：，

续解：

13．（2022秋·湖南永州·九年级校考期中）阅读下列材料，解答问题．

．

解：设，则，

原方程可化为，

，即．

或，解得．

请利用上述方法解方程：．

14．（2023秋·重庆渝中·九年级统考期末）阅读材料，解答问题．

解方程：．

解：把视为一个整体，设，

则原方程可化为．

解得，．

或．

，．

以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．

请仿照材料解下列方程：

(1)；

(2)．

三、一元二次方程根的判别式

15．（2023秋·湖南益阳·九年级校联考期末）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）＝0．

(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．

(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．

16．（2022秋·河北保定·九年级统考期末）