人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2(第2课时)等比数列的前n项和 【课件】.pptxVIP

4.3.2等比数列的前n项和

的性质及应用

人教A版(2019)

选择性必修第二册

■■■

已知量

a₁,q(q≠1),n

a₁,an,q(q≠1)

a₁,q=1

求和公式

(q≠1)

Sn=na₁

温故知新

等比数列前n项和公式

思考1.类比等差数列，等比数列{an}的前n项和Sn有什么函数特性?

提示：

1.①等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即

q≠1和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况.

是一个指数式与一个常数的和且指数式的系数与常数项互为相反数.

其中A≠0、q≠1

②当q=1时，Sn=na₁是n的正比例函数.

当q≠1时，等比数列的前n项和公式是

,上式可写成Sn=-Aqn+A

它可以变形为

设

拓展等比数列前n项和的性质

1数列{an}是等比数列→Sn=Aqn-A(A≠0)

2若等比数列{an}的前n项和为Sn,则

Sn、S₂n-Sn、S₃n-S₂n成等比数列

(其中Sn、S2n-Sn、S₃n-S₂n均不为0,即当q=-1,n为偶数时，上述性质不成立)

3若等比数列{an}的公比为q,则Sn+m=Sn+qnSm(m,n∈N*)

4等比数列的项数是偶数时，

等比数列的项数是奇数时，

例10如图4.3-2,正方形ABCD的边长为5cm,取正方形ABCD各边的中

点E,F,G,H,作第2个正方形EFGH,然后再取正方形EFGH各边的中点I

J,K,L,作第3个正方形JKL,依此方法一直继续下去.

图4.3-2

分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列.

(1)求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；

(2)如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少?

因此，{an}是以25为首项，为公比的等比数列.

设{an}的前n项和为Sn·

(1)

所以，当10个正方形的面积之和

解：设正方形ABCD的面积a₁,后继各正方形的面积依次为

a₂,a₃,…,an,…,则a₁=25

由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以

随着n的无限增大，将趋近于0,Sn将趋近于50.

所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.

(2)当n无限增大时，Sn无限趋近于所有四方形的面

积和a₁+a₂+a₃+…+an+….而

例11去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式

处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%,同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算请写出从今年起n年内通过填埋方式处理的垃圾总量的计算公式，并计算从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).

分析：

由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.

解：设从今年起每年生活垃圾的总量(单位：万吨)构成数列{an},每年以环

保方式处理的垃圾量(单位：万吨)构成数列{bn},n年内通过填埋方式处理的垃圾总量为Sn(单位：万吨),则

an=20(1+5%)nbn=6+1.5n

Sn=(a₁-b₁)+(a₂-b₂)+…+(an-bn)

=(a₁+a₂+…+an)-(b₁+b₂+…+bn)

=(20×1.05+20×1.05²+…+20×1.05n)-(7.5+9+…+6+1.5n)

当n=5时，S₅≈63.5

所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.

例12某牧场今年初牛的存栏数为1200,预计以后每年存栏数的增长率

为8%,且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为c₁,C₂,C₃,...

(1)写出一个递推公式，表示Cn+1与cn之间的关系；

(2)将(1)中的递推公式表示成Cn+1-k=r(Cn-k)的形式，其中k,r为常数(3)求S₁0=C₁+C₂+C₃+…+C₁0的值(精确到1).

分析：(1)可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立Cn+1与cn的关系；

(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式的形式通过比较系数，得到方程组；

(3)利用(2)的结论可得出解答.

Cn+1=1.08cn-100

(2)将C