人教版高中数学选择性必修第二册4.4 数学归纳法 课件.pptxVIP

4.4数学归纳法

人教A版(2019)

选择性必修第二册

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情景2:《田舍翁之子学书》(明朝刘元

卿的《贤弈篇·应谐录》)即财主的儿子学写字.文中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五

横…....”这个结论是否正确呢?

情景1:有人看到树上有一只乌鸦，

感慨道“天下乌鸦一般黑”这个结论正确吗?

情景3:如果{an}是一个等差数列，怎样得到an=a₁+(n-1)d?

等差数列{an}的首项为a₁,公差为d.那么

a₁=a₁=a₁+0·d,

a₂=a₁+d=a₁+1×d

a₃=a₂+d=a₁+2×d

a₄=a₃+d=a₁+3×d

an=?归纳可得

an=a₁+(n-1)d

以上都是不完全归纳法的体现，其结果不一定正确。如何解决不完全归纳法存在的问题呢?

在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，

例如等差数列{an}的通项公式an=a₁+(n-1)d等，但并没有给出严格的数学证明.

那么,对于这类与正整数n有关的命题，怎样证明它对每一个正整数n都成立呢?本节我们就来介绍一种重要的证明方法——数学归纳法。

探究

已知数列{an}满足a₁=1,(n∈N*),计算a₂,a₃,a₄,猜想其

通项公式，并证明你的猜想.

分析：计算可得a₂=1,a₃=1,a₄=1.

由此猜想：an=1(n∈N*)

如何证明这个猜想呢?

思路1:我们可以从n=5开始一个个往下验证.

一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n较大时，验证起

来会很麻烦.特别是证明n取所有正整数都成立的命题时，逐一验证时不可能的.

因此，我们需要另辟蹊径，寻求一种方法：通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立.

这是一种码放骨牌的游戏.码放骨牌时，要保证任意相邻的两块骨牌，若前

一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.

这样，只要推倒第1块骨牌，就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下就可导致第3块骨牌倒下；....总之，不论有多少块骨牌，都能全部倒下.

思考1:在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

可以看出，使所有骨牌都能倒下的条件有两个：

(1)第一块骨牌倒下；

(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

思考2:你认为条件(2)的作用是什么?如何用数学语言描述它?

可以看出，条件(2)实际上是给出了一个递推关系：

第k块骨牌倒下第k+1块骨牌倒下

这样，只要第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌就能够相继倒下.事实上，无论有多少块骨牌，只要保证(1)(2)成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下.

合作探究

思考3:

你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是an=1(n∈N*)”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗?

分析：由条件容易知道，n=1时猜想成立.这就相当于游戏的条件(1).

事实上，如果ak=1那么

即n=k+1时猜想也成立

这样，对于猜想“an=1”,由n=1成立，就有n=2成立；由n=2成立，就有n=3成立；.所以，对于任意正整数n,猜想都成立，即数列{an}的通项公式是an=1(n∈N*).

类比条件(2),可知考虑证明一个递推

如果n=k时，猜想成立，即ak=

递推公式：

(n∈N*)

k+1=1

骨牌原理

猜想的证明步骤

(1)第一块骨牌倒下；

(1)n=1时，猜想正确

(2)证明“如果前一块倒下，则后一块也跟着倒下”.这句话是真实的

(2)证明“当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立”是真命题

根据(1)(2),所有的骨牌都能倒下.

根据(1)(2),这个猜想对一切正整数n都成立

通过上面的类比，我们找到了“通过有限个步骤的推理，证明n取所

有正整数时命题都成立”的方法，这个方法就叫做数学归纳法.

一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：

(1)(归纳奠基)证明当n=n₀(n∈N*)时命题成立；

(2)(归纳递推)以“当n=k(k∈N*,k≥n₀)时命题成立”为条件，推出“当n=k+1时命题也成立”

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n₀开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法，用框图表示就是：

验证n=no时

命题成立.

若n=k(k≥n₀)时命题成立，

证明n=k+1时命题也成立.

归纳奠基

归纳递推

命题对从n。开始所有的正整数n都成立.

数学归纳法

思考1数学归纳法的第一步no的