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研究生考试考研数学(三303)自测试卷(答案在后面)

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、设函数fx=x3?

A.x

B.x

C.x

D.x

2、设函数fx=ln

A.0

B.1

C.2

D.不存在

3、设函数fx=lnx2

A.1

B.1

C.1

D.1

4、已知函数fx=x2+1if

A、a

B、a

C、a

D、a

5、设fx=e

A.π

B.π

C.2

D.1

6、设函数fx=lnx2

A.0

B.1

C.-1

D.2

7、设函数fx=x3?3x

A.-1

B.0

C.1

D.2

8、设fx是定义在实数集上的函数，且$(

)，则下

A.fx在x

B.fx在x

C.fx在x

D.fx在x

9、设随机变量X和Y相互独立，其中X～N0,1

A、N

B、N

C、t

D、χ

10、已知函数fx=x

A、0

B、-2

C、1

D、-1

二、填空题（本大题有6小题，每小题5分，共30分）

1、设fx=1

2、设函数fx=e

3、函数fx=lnx

4、已知随机变量X服从参数为3的泊松分布，则P(X=1)=__________。

5、设随机变量X服从参数为λ=3的指数分布，Y=2X

6、设函数fx=ln

三、解答题（本大题有7小题，每小题10分，共70分）

第一题

某制药公司需要生产一种药品，该药品的有效成分含量需要控制在适合的范围内。已知生产该药品的成本函数为Cx=1000+50

1.求该制药公司的边际成本函数C′

2.当年产药品量为60万瓶时，求边际成本，并解释其含义。

3.若希望将药品的有效成分含量控制在高于目标值的范围内，并且确定的有效成分含量的随机波动性质符合正态分布，均值为0.04且标准差为0.003，请问当产量x变化时，有效成分含量的概率分布将如何变化？考虑x在55,

4.在这种情况下，平均有效成分含量将如何变化？给出计算过程。

第二题

已知函数fx=x

（1）求fx

（2）讨论gx

（3）若存在x0∈R使得f

第三题

假设函数fx在区间0

f

第四题

设函数fx在0,1上连续，在0,1内可导，且满足f0=

证明

我们首先应用拉格朗日中值定理。由于fx在0,1上连续，在0,1内可导，因此在

定义函数gx=fx?2x?1，则gx连续且可导，且

由罗尔定理，在0,1上gx至少存在一个二阶导数为零的点

由于g′

g

即0

解这个方程，我们得到f

于是我们证明了存在c∈0,

第五题

已知某企业的利润函数为Px=?

1.求利润函数Px

2.求企业利润的最大值，并在最大值点处求企业的生产数量x。

3.判断x=1和

第六题

假设某公司需要对新研发的产品进行市场调查。根据历史数据，产品的故障率服从泊松分布，且平均故障数为3次周。现定义考场环境中的物理变量如下：

-Y表示学生为解决问题进行的讨论次数。

假设a

1.现有303组样本数据，学生在考试过程中记录了一周内遇到的故障数Xi以及与之对应的讨论次数Yi(i=

2.估计常数a和b，并解释回归系数a的实际意义。

第七题

已知某种药物的疗效服从正态分布，其均值未知，方差为100。为了测试这种新药物是否有效，规定药物有效是其平均疗效大于等于15的效果。随机选取了16名患者使用这种药物，所得疗效的样本均值为14.5。

（1）用α=0.05检验该药物是否有效。

（2）如果假设检验的结论错误，分析可能会出现哪种错误，哪种错误的风险更大。

研究生考试考研数学(三303)自测试卷与参考答案

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、设函数fx=x3?

A.x

B.x

C.x

D.x

答案：D

解析：首先求导数f′x=3x2?3，令f′x=0，得到3x2?3=0，解得x2

2、设函数fx=ln

A.0

B.1

C.2

D.不存在

答案：B

解析：首先，我们求函数fx在x=0处的导数。对于f

f

将x=

f

因此，在x=0处的导数值为

3、设函数fx=lnx2

A.1

B.1

C.1

D.1

答案：B

解析：首先，根据复合函数求导法则，对函数fx

f

接下来，代入x=1求

f

但是，正确的步骤如下，方能得出正确答案：

f

因此，选项B正确。

4、已知函数fx=x2+1if

A、a

B、a

C、a

D、a

正确答案：A

解析：为了使函数fx在x

左侧在x→1?

右侧在x→1+

为了在x=1处连续，需要a+

考察选项:A选项a=2,

B选项a=3,

C选项a=2,

D选项a=3,

似乎没有列出正确的选项，但根据a+b=2的条件来看，最接近的答案是重新分析a和b应满足a=2,

因此，正确答案应为A，但实质上解析出正确选项应为a=

5、设fx=e

A.π

B.π

C.2

D.1

答案：A

解析：要求0∞

I

则有：

I

经过极坐