第2章控制系统的数学模型.pdf

第第2章章控控制制系系统统的的数数学学模模型型

第2章控制系统的数学模型§1系统数学模型的基本概念

⼀.系统模型

系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。

物理本质不同的系统，可以相同的数学模型，从⽽可以抛开系统的物理属性，⽤同⼀⽅法进⾏具普遍意义的分析研究(信息

⽅法)。

从动态性能看，在相同形式的输⼊作⽤下，数学模型相同⽽物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进⾏

实验模拟的基础。

⼆.系统数学模型

1.系统数学模型

系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。数学模型是描述系统输⼊、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭

⽰了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。

2.系统数学模型的分类

数学模型⼜包括静态模型和动态模型。

(1)静态数学模型

静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数⽅程。反映系统处于稳态时，系统状态关属性变量之间关系的数学

模型。

(2)动态数学模型

描述变量各阶导数之间关系的微分⽅程。描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。也可定义为描述实际系统各物理量随时间演

化的数学表达式。动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，⽽且与它过去的⼯作状态关。微分⽅程或差分⽅程常

⽤作动态数学模型。

动态模型在⼀定的条件下可以转换成静态模型。在控制理论或控制⼯程中，⼀般关⼼的是系统的动态特性，因此，往往需要采

⽤动态数学模型。即，⼀般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。

三.系统数学模型的形式

对于给定的同⼀动态系统，数学模型的表达不唯⼀。如微分⽅程、传递函数、状态⽅程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。

对于线性系统，它们之间是等价的。但系统是否线性这⼀特性，不会随模型形式的不同⽽改变。线性与⾮线性是系统的固特

性，完全由系统的结构与参数确定。

经典控制理论采⽤的数学模型主要以传递函数为基础。⽽现代控制理论采⽤的数学模型主要以状态空间⽅程状态空间⽅程为基

础。⽽以物理定律及实验规律为依据的微分⽅程微分⽅程⼜是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间⽅程的基础。

四.系统数学模型的分类

1.按描述⽅法分类

数学模型的表达虽多种形式，但按描述⽅法总体上可分为以下三种。

(1)外部描述法

外部描述法也称为输⼊输出描述法。它是将系统的输⼊与输出之间的关系⽤数学⽅式表达出来。如：微分⽅程、传递函数。

(2)内部描述法

内部描述法也称为状态空间描述法。它不仅可以描述系统的输⼊与输出之间的关系，还可以描述系统的内部特性。

(3)图形描述法

图形描述法即是⽤直观的⽅框图或信号流程图模型进⾏系统的描述。

2.按变量范围分类

按变量的变化范围可分为以下三类。

(1)时间域

微分⽅程(⼀阶微分⽅程组)、差分⽅程、状态⽅程

(2)复数域

传递函数、结构图

(3)频率域

频率特性

§2建⽴系统数学模型的基本⽅法

⼀.系统模型建⽴的基本⽅法

系统建模是经典控制理论和现代控制理论的基础。建⽴系统数学模型的⽅法分析法和实验辨识法两种。

1.解析法

依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律，经过数学推导，列写出相应的数学关系式，建⽴模型。解析法主要⽤于

对系统结构及参数的认识都⽐较清楚的简单系统。

2.实验法

⼈为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并⽤适当的数学模型进⾏逼近。这种⽅法也称为系统辨识。实验法通常⽤

于对系统结构和参数所了解，⽽需进⼀步精化系统模型的情况。

对于复杂系统的建模往往是⼀个分析法与实验辨识法相结合的多次反复的过程。

⼆.系统微分⽅程模型的建⽴

1.系统微分⽅程模型

系统微分⽅程模型是最重要的⼀种模型。系统按其微分⽅程是否线性这⼀特性，可以分为线性系统和⾮线性系统。如果系统的

运动状态能⽤线性微分⽅程表⽰，则此系统为线性系统。线性系统的⼀个最重要的特性就是满⾜叠加原理。线性系统⼜可分为

线性定常系统和线性时变系统。线性定常系统是本课程中研究的重点。

设c(t)与r(t)分别为系统的输出量与输⼊量，n阶线性定常系统微分⽅程的⼀般形式为c(n)(t)+a1c(n-1)(t)+…+an-1c(1)(t)+an

c(t)=b0r(m)(t)+b1r(m-1)(t)+…+rm-1r(1)(t)+bmr(t)(2.2.1)则称该系统为时不变线性系统，也称定常线性系统。通常nm，表明

系统是稳定的，即系统的输⼊不会使输出发散。系数a1、…、an和b0、b1、…、bm均为常数，不随时间⽽变化。

严格地说，很多物理系统是时变的，因为构成物理系统的材料、元件、部件的