辽宁省沈阳市五校协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷(解析).docx

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2023-2024学年度（上）沈阳市五校协作体期中考试

高二年级数学试卷

试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1-12题60分）；第二部分：非选择题型（13-22题90分）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.方程表示的曲线是

A.一个圆和一条直线 B.一个圆和一条射线

C一个圆 D.一条直线

【答案】D

【解析】

【详解】由题意可化为或），

在的右方，

）不成立，，

方程表示的曲线是一条直线.

故本题正确答案为

2.已知是坐标原点，空间向量，，，若线段的中点为，则（）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据模长的坐标计算公式直接计算.

【详解】由题意，则，所以，

所以，

故选：C.

3.“”是“圆与圆相切”的（）

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据圆与圆的位置相切关系和充分不必要条件的判断即可.

【详解】圆圆心，半径为；

圆圆心，半径为；

当两圆相切时，可分为内切和外切两种，

圆心距为，

①当两圆外切时：，即.

②当两圆内切时：，即.

则根据充分条件和必要条件的判定原则，

可知“”是“圆与圆相切”的充分不必要条件.

故选：A

4.如图，在四面体中，，分别是，的中点，为上一点，且，若，，，则（）

A. B.

C. D.

【答案】D

【解析】

【分析】依题意可知，，，然后根据，代入计算即可.

【详解】因为，分别是，的中点，

所以，.

因为，

所以

.

故选：D.

5.直线过点且与椭圆相交于，两点，若点为弦的中点，则直线的斜率为（）

A. B. C. D.1

【答案】A

【解析】

【分析】根据点为弦的中点，利用“点差法”求解.

【详解】设，因为点A，B在椭圆上，

所以，

两式相减得，

即，

因为点为弦的中点，

所以直线的斜率为，

故选：A

6.已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（）

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可.

【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，

由椭圆的性质，可得.

过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，

.

等于的最小值的3倍，

.

椭圆中，

，即，

则.

，

，解得或（舍）.

故选：B.

7.已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（）

A.13 B.11 C.9 D.8

【答案】D

【解析】

【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.

【详解】如图所示，

圆的圆心为，半径为4，

圆的圆心为，半径为1，

可知，

所以，

故求的最小值，转化为求的最小值，

设关于直线的对称点为，设坐标为，

则，解得，故，

因为，可得，

当三点共线时，等号成立，

所以的最小值为.

故选：D.

8.正方体的棱长为2，P是空间内的动点，且，则的最小值为（）.

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】

【分析】取的中点M，连接，取的中点N，连接，则由已知条件可得动点P的轨迹为正方体的外接球，然后由向量的运算可得，从而可求得结果.

【详解】取的中点M，连接，

则，则，即，

故动点P的轨迹为以M为球心，为半径的球.

由正方体的棱长为2，可知正方体外接球的半径为3，

即动点P的轨迹为正方体的外接球.

取的中点N，连接，

则

.

由题可知，，则，，

则.

所以的最小值为，

故选：C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.过点，在轴上的截距与在轴上的截距相等的直线有两条

B.过点作圆的切线，切线方程为

C.经过点，倾斜角为的直线方程为

D.直线的一个方向向量为

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出过点，在轴上的