基本不等式训练题.docVIP

基本不等式训练题

基本不等式训练题

基本不等式训练题

基本不等式训练题

1、若xy＞０，则对xy+yx说法正确得是(）

Ａ、有最大值－２Ｂ。有最小值2

C、无最大值和最小值D、无法确定

答案：B

2。设x,y满足ｘ＋y＝４0且x,ｙ都是正整数,则xy得最大值是（)

Ａ。400B。１０0

C、40Ｄ、2０

答案：A

3。已知x2,则当x＝_＿__时,x+4ｘ有最小值＿___、

答案:24

4、已知f（x)＝1２x＋4ｘ、

（１）当ｘ〉0时,求ｆ（x)得最小值；

（2)当ｘ〈0时，求f(ｘ）得最大值、

解：(1）∵x０,12ｘ，４x＞0。

１2x+4ｘ２1２x4ｘ=83、

当且仅当12x=4x，即ｘ=3时取最小值83，

当ｘ＞０时，f(ｘ)得最小值为83。

（２)∵ｘ０，-x＞0。

则—f（x）=12－x＋(—4ｘ）21２—x-4x＝83，

当且仅当１2－x＝—4x时,即x＝—３时取等号、

当x＜０时,f(x）得最大值为-８3。

一、选择题

1、下列各式，能用基本不等式直接求得最值得是（）

Ａ、x＋1２xB、ｘ2—1＋1x2－1

Ｃ、2x＋2－xD、x（1－ｘ）

答案：C

2。函数y＝3x2+６x２＋1得最小值是（)

A。32－３B。－3

C、6２Ｄ、６２－３

解析：选D、y=3(ｘ2+2x2+1)＝3（x２+1+2x２+1-１）3(2２－１）＝62－３。

3、已知ｍ、nR，mｎ＝10０，则m２+n2得最小值是(）

Ａ、200B。100

C、50Ｄ。20

解析：选A。m2+n22mn=200，当且仅当ｍ=n时等号成立、

４、给出下面四个推导过程:

①∵a,b（0，+），ba+ab2baab＝2；

②∵ｘ，y（0，+)，lgx+lｇy２ｌgxｌgy;

③∵ａR，ａ0,4a＋a24ａa=4;

④∵ｘ，yR，，xｙ0,xy＋ｙｘ＝-［（－xy)＋(-yｘ)］—２－xy—yｘ＝—２、

其中正确得推导过程为（）

A。①②B、②③

C、③④D、①④

解析：选D。从基本不等式成立得条件考虑、

①∵ａ，b(0，+)，ba,ab(０，＋)，符合基本不等式得条件,故①得推导过程正确；

②虽然x，y（0，＋)，但当x（0，１）时,lgx是负数，y（０,1)时,lgy是负数，②得推导过程是错误得；

③∵ａR,不符合基本不等式得条件，

４a＋a24aa=４是错误得；

④由xy〈0得ｘy,yx均为负数，但在推导过程中将全体ｘy+yx提出负号后，（－xｙ)均变为正数,符合基本不等式得条件，故④正确、

5、已知a＞０,b＞0，则1a+1ｂ+2ab得最小值是（)

A、2B、22

C。４D、5

解析:选Ｃ、∵１a+1b＋２ａb２aｂ＋２ａb222=4、当且仅当ａ＝baｂ＝1时,等号成立，即ａ=b＝1时，不等式取得最小值4、

6、已知x、y均为正数，xy=8x＋2y，则xy有（)

A、最大值64B、最大值164

Ｃ、最小值64Ｄ、最小值16４

解析：选C。∵x、ｙ均为正数，

xy＝８x＋2ｙ28x２y=8xy，

当且仅当8x＝2y时等号成立、

xy64、

二、填空题

7、函数ｙ=ｘ+1x+1(ｘ0）得最小值为_____＿__。

答案:1

8、若x〉0，y０,且x+4y＝1，则ｘy有最＿_______值，其值为_______＿、

解析:１=x+4y4y＝４xy，xｙ１16。

答案:大１16

９、(2０19年高考山东卷）已知x，yＲ+,且满足x3＋y４=1，则ｘy得最大值为______＿＿、

解析：∵ｘ＞0，y＞0且１=x3+ｙ42xy12，xy３、

当且仅当ｘ3＝ｙ4时取等号、

答案：3

三、解答题

10、(1)设x＞-１，求函数y=x＋4x＋1+6得最小值;

(2）求函数y=x2+8ｘ－1(x＞1）得最值、

解:(1）∵x〉—1，x+１0、

y＝ｘ＋4x＋1+6=ｘ+１+4ｘ＋1＋5

2x＋１4ｘ+1＋5＝9，

当且仅当x＋1=4ｘ+1，即ｘ＝1时，取等号、

ｘ=1时，函数得最小值是9、

（2）ｙ=x２＋８ｘ－1=ｘ2－1＋9x－1＝(x＋1)＋9x-１

＝（x-1）+９x－1＋２。∵x＞１，x—1＞0。

(ｘ-１)+９x-1＋2２x-19x-1+２=8、

当且仅当x—１＝9x－1,即x=4时等号成立，

y有最小值8。

11。已知a,ｂ，c（0，＋)，且a+b+c=1，求证:(１a—1）（1ｂ－１）(1c－1）8。

证明：∵ａ，b,c（0，＋），a+ｂ＋c＝1，

1a－1=1—aa＝b＋ca=ba+cａ2bca，

同理1b－12acb，1c－１2abc,

以上三个不等式两边分别相乘得

（1a—1)（1b—1）(１ｃ－１)8、

当且仅当a＝b=c时取等号、

1２。某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为2０0平方米得二级污水