2025年课标高考文数每日习题真题分类9.5　圆锥曲线的综合问题 (3)(带答案解析).docx

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9.5圆锥曲线的综合问题

应用篇知行合一

应用一构建圆锥曲线模型解决与物理有关的实际问题

1.(2024昆明、玉溪重点中学3月联考,10数学探究)根据圆锥曲线的光学性质:从双曲线的一个焦点发出的光线,经双曲线反射后,反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得,过双曲线上任意一点的切线,平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题:已知F1,F2分别是双曲线C:x2-y22=1的左、右焦点,若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后,反射光线为射线AM,则∠F2

A.-3B.-33C.33

答案B如图,因为点A(x0,2)在双曲线C:x2-y22=1的右支上,所以x0=3,即A(3,2),设双曲线在点A处的切线为l,切线的斜率为k,∠F2AM的平分线所在直线的斜率为k1,由题意可知k·k

解法一:因为l:y-2=k(x-3),所以联立得y-2=k(x-3),x2-y22=1,化简得(k2-2)x

解得k=3,所以k1=-33

解法二:当y0时,由双曲线C:x2-y22=1知y=2(x2-1)12,所以y=2×12×(x2-1)-12×2x=2x

知识拓展过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上任意一点P(x0,y

2.(2024届广东惠州一中月考,6)著名的天文学家、数学家约翰尼斯·开普勒(JohannesKepler)发现了行星运动三大定律,其中开普勒第一定律又称为轨道定律,即所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,且太阳处在椭圆的一个焦点上.记地球绕太阳运动的轨道为椭圆C,在地球绕太阳运动的过程中,若地球与太阳的最远距离与最近距离之比为λ,则C的离心率为()

A.λ2-1

C.λ-1

答案C设椭圆C的焦距为2c,长轴长为2a,根据题意可得地球与太阳的最远距离为a+c,最近距离为a-c,则a+ca-c=λ,解得c

3.(2024届河南开封月考,5)一种卫星接收天线如图(1)所示,其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点F处,如图(2)所示.已知接收天线的口径AB为4.8m,深度为1m.若P为接收天线上一点,则点P与焦点F的最短距离为()

图(1)

图(2)

A.0.72mB.1.44mC.2.44mD.2.88m

答案B在接收天线的轴截面所在平面建立直角坐标系,使接收天线的顶点与原点重合,焦点在x轴上,如图所示.设抛物线方程为y2=2px(p0),由题知,点A(1,2.4)在抛物线上,所以(2.4)2=2p,解得p=2.88.则点P与焦点F的最短距离为p2

4.(多选)(2024届湖北部分学校11月质量检测,11)某学校航天兴趣小组利用计算机模拟“天问一号火星探测器”的运动,如图,探测器在环火星椭圆轨道近火星点M处制动(俗称“踩刹车”)后,以vkm/s的速度进入距离火星表面nkm的环火星圆形轨道(火星的球心为椭圆的一个焦点),环绕周期为ts.已知R为火星的半径,远火星点N到火星表面的最近距离为mkm,则()

A.椭圆轨道的离心率为m

B.圆形轨道的周长为vtkm

C.火星半径为vt2π

D.近火星点与远火星点的距离为m-

答案ABD以线段MN的中点为原点,MN所在直线为x轴,线段MN的垂直平分线为y轴,且向右的方向为x轴正方向,向上的方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系,设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),则m+R=a+c,n+R=a-c,所以2a=m+n+2R,2c=m-n,故离心率e=ca=m-n

5.(2024辽宁二模,4)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年—前325年),大约100年后,阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线,并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质,比如:从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后,反射光线平行于抛物线的对称轴;反之,平行于抛物线对称轴的光线,经抛物线反射后,反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线C:y2=x,一束平行于抛物线对称轴的光线经过A(5,2),被抛物线反射后,又射到抛物线C上的Q点,则Q点的坐标为()

A.14,-1

C.116,-

答案D设过点A(5,2)且平行于抛物线对称轴的直线与抛物线交于点P,易知yP=2,将(xP,2)代入抛物线方程得xP=4,即P(4,2).设焦点为F,则F14,0.设Q(yQ2,yQ),由P,F,Q三点共线,有kPF=kQF,即2-04-14=yQ-

6.(2024届重庆八中月考,15数学探究)椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点,焦点是光