数学人教版八年级上册将军饮马问题 .pdfVIP

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，

一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，

到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路

线全程最短？

B

A

l

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这

个问题后来被称为“将军饮马问题”．

学生能将实际问题中的“地点”“河”抽象为数学中的“点”“线”，教师引

导学生把实际问题抽象为数学问题。

实际问题转化为数学问题

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，

当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？

思考：如何将点B“移”到l的另一侧B′处，满B

足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的A·

长度相等？·

.

l

作法：C

（1）作点B关于直线l的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l相交于点C．.

B′

则点C即为所求．

对于直线异侧的两点，怎样在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之

和最小，学生很容易想到连接这两点，所连线段与直线的交点就是所求的点.但

对于直线同侧的两点，如何在直线上找到一点，使这一点到这两点的距离之和最

小，一些学生会感到茫然，找不到解决问题的思路.教学时，教师可从“直线异

侧的两点”过渡到“直线同侧的两点”，为学生搭建“脚手架”。

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？

证明：如图，在直线l上任取一点C′（与点C不

重合），连接AC′，BC′，B′C′．

由轴对称的性质知，B

BC=B′C，BC′=B′C′A·

∴AC+BC

=AC+B′C=AB′

l

AC′+BC′C′C

′′′

=AC+BC

′′

在△ABC中，

′′′′

AB＜AC+BC

′′B′

∴AC+BC＜AC+BC