专题29 计数原理 随机变量及其分布列（五大题型 模拟精练 核心素养分析 方法归纳）-2025年高考数学一轮复习（新高考专用）（解析版）.docx

专题29计数原理随机变量及其分布列（五大题型+模拟精练）

目录：

01两个计数原理

02排列组合

03二项式定理

04随机变量及其分布列

05不同类型分布列综合

01两个计数原理

1．甲、乙、丙、丁去听同时举行的3个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为（???）

A．6 B．12 C．18 D．24

【答案】A

【分析】先安排甲乙，然后安排丙丁，再根据分步乘法计数原理求得正确答案.

【解析】甲乙两人听同一个讲座，方法数有种，

丙丁两人听不同的讲座，方法数有种，

所以恰好只有甲、乙两人听同一个讲座的种数为种.

故选：A

2．从7本不同的书中选出3本送给3位同学，每人一本，不同的选法种数是（????）

A． B． C．21 D．210

【答案】D

【分析】根据分步乘法计数原理求解.

【解析】根据分步乘法计数原理，不同的选法有种.

故选：D

3．三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，某中学有四名学生报名参加．若每名学生只能报一所大学，每所大学都有该中学的学生报名，且大学只有其中一名学生报名，则不同的报名方法共有（???）

A．18种 B．21种 C．24种 D．36种

【答案】C

【分析】按分步乘法计数原理，首先选一人去大学，然后将剩余的三位同学分为两组2，1，再分配到两所学校即可求解.

【解析】第一步选一人去大学，则有（种），

第二步将剩余的三位同学以一组两人，一组一人进行分组，然后分配到两所学校，

则有（种），

则不同的报名方法共有（种），

故选：C.

02排列组合

4．用，，，，，这六个数字可以组成（???）个无重复数字，符合“小于4310的四位偶数”

A．108 B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题意，分千位小于，千位为，百位小于，千位为，百位等于，当十位小于时，然后根据分类计数原理可得．

【解析】当千位小于时，有种，

当千位是，百位小于时，有种，

当千位是，百位是，十位小于时，有种，

由分类计数原理，可得小于的四位偶数共有，

故选：B.

5．七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲?乙渔船要排在一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（???）

A．96种 B．120种 C．192种 D．240种

【答案】C

【分析】先将甲乙捆绑成一个单元，再讨论其所排位置，运算求解.

【解析】由题意可知，丙排在第4位，则甲乙两人可能在第1、2或2、3或5、6或6、7位，

故不同的排法有种.

故选：C.

6．将6棵高度不同的景观树种植在道路两侧，要求每一侧种植3棵，且每一侧中间的景观树都要比两边的高，则不同的种植方法共有（????）

A．20种 B．40种 C．80种 D．160种

【答案】C

【分析】先分步计算两侧的排法，再结合分步计数原理计算即可.

【解析】一侧的种植方法有种排法，

另一侧的种植方法有种排法

再由分步计数原理得不同的种植方法共有种排法，

故选:C.

7．甲、乙、丙等5人被安排到三个社区做志愿者，每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则甲和乙不去同一个社区的概率为（???）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先将5人分为三组，再分配到三个社区，再减掉甲乙两个人在同一社区的情况，即可求得.

【解析】根据题意，甲、乙、丙等五人被安排到三个社区做志愿者，

每人随机选择一个社区，且这三个社区都有人去，则可按和分组，

再分配到三个社区，共有种不同的安排方法，

其中甲乙在一个社区的共有种，

则甲乙不去同一个社区的概率为.

故选：.

8．暑期将至，甲?乙?丙等六名学生准备各自从四个景点中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点，则所有不同的选法种数为（????）

A．540 B．720 C．1080 D．1170

【答案】D

【分析】根据排列组合知识结合分组问题求解即可.

【解析】因为甲没有选景点，所以甲有种选法，

其余5名学生可以选3个景点或4个景点.

当其余5名学生选3个景点时，有种选法；

当其余5名学生选4个景点时，有种选法.

故共有种不同的选法.

故选：D.

9．武汉外校国庆节放7天假（10月1日至10月7日），马老师、张老师、姚老师被安排到校值班，每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，则不同的值班方法共有（???）种

A．114 B．120 C．126 D．132

【答案】A

【分析】依据值班3天的为分类标准，逐类解决即可.

【解析】因为有三位老师值班7天，且每人至少值班两天，每天安排一人值班，同一人不连续值两天班，

所以必有一人值班3天，另两人各值班2天.

第一类：值班3天在、、、、、时，共有种不同的值班方法；

第二类：值班3天在、时，共有种不同的值班方法；

第三类：值班3天在时，共有种不同的值班方