江西省萍乡市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷.docxVIP

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江西省萍乡市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

2．设，，是非零向量，则“”是“”的（????）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．下图是我国2018～2023年纯电动汽车销量统计情况，下列说法错误的是（????）

A．我国纯电动汽车销量呈现逐年增长趋势

B．这六年销量第60百分位数为536.5万辆

C．这六年增长率最大的为2019年至2020年

D．2020年销量高于这六年销量的平均值

4．直线过抛物线：的焦点，且与交于两点，若使的直线恰有2条，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

5．已知椭圆的右焦点为，过且斜率为1的直线与交于两点，若线段的中点在直线上，则的离心率为（????）

A． B． C． D．

6．如图，在平行四边形中，为边上异于端点的一点，且，则（????）

??

A． B． C． D．

7．在平面直角坐标系内，方程对应的曲线为椭圆，则该椭圆的离心率为（????）

A． B． C． D．

8．已知O为坐标原点，双曲线C:的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过F2作的平分线的垂线，垂足是M，，若双曲线C上一点T满足，则点T到双曲线C的两条渐近线距离之和为（????）

A． B． C． D．

9．在中，若，则的取值范围为（????）

A． B． C． D．

二、多选题

10．已知双曲线，则（????）

A．的取值范围是

B．时，的渐近线方程为

C．的焦点坐标为

D．可以是等轴双曲线

11．如图，正方形的中心与圆的圆心重合，是圆上的动点，则下列叙述正确的是（????）

A．是定值

B．是定值

C．是定值

D．是定值

12．直四棱柱的所有棱长都为4，，点在四边形及其内部运动，且满足，则下列选项正确的是（????）

??

A．点的轨迹的长度为.

B．直线与平面所成的角为定值．

C．点到平面的距离的最小值为.

D．的最小值为-2．

三、填空题

13．已知双曲线的离心率分别为和，则的最小值为.

14．的展开式中的系数为（用数字作答）.

15．法国数学家卢卡斯在研究一元二次方程的两个根不同幂的和时，发现了，，…，由此推算.

四、解答题

16．如图所示的五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后的几何体，，，D为的中点，E，F分别为，的中点.

??

(1)判断BF和CE是否垂直，并说明理由；

(2)设（），是否存在，使得平面ABC与平面PBF夹角的余弦值为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.

17．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，所得的向上的点数分别记为，设表示不超过实数x的最大整数，的值为随机变量X.

(1)求在的条件下，的概率；

(2)求X的分布列及其数学期望.

18．如左图所示，在直角梯形ABCD中，，，，，，边AD上一点E满足.现将沿BE折起到的位置，使平面平面BCDE，如右图所示.

(1)求证：；

(2)求异面直线与BE的距离；

(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

19．已知，，M是圆O：上任意一点，关于点M的对称点为N，线段的垂直平分线与直线相交于点T，记点T的轨迹为曲线C．

(1)求曲线C的方程；

(2)设（）为曲线C上一点，不与x轴垂直的直线l与曲线C交于G，H两点（异于E点）.若直线GE，HE的斜率之积为2，求证：直线l过定点.

20．在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：y=fx上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示y=fx在点A处的一阶、二阶导数）

(1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率；

(2)求椭圆在处的曲率；

(3)定义为曲线y=fx的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围．

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