上海市复旦中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷.docxVIP

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上海市复旦中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．设全集，若集合，则．

2．若幂函数的图象经过，则此幂函数的表达式为.

3．不等式的解集是．

4．已知是上的奇函数，则的值为．

5．已知空间向量，，，若，则．

6．已知，的二项展开式中各项系数和为729，则展开式中项的系数是．

7．已知圆锥的侧面积为，且侧面展开图为半圆，则该圆锥的底面半径为．

8．现从名男医生和名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用表示事件“抽到的两名医生性别同”，表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则.

9．已知在等比数列中，、分别是函数的两个驻点，则．

10．若?是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为.

11．若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为

12．已知函数的图像与直线：交于点，，其中，与直线：交于两点、，其中，则的最小值为.

二、单选题

13．设复平面上表示和的点分别为点A和点B，则表示向量的复数在复平面上所对应的点位于（????）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

14．已知抛物线，过焦点F且斜率为的直线与抛物线交于两个不同的点A、B，则线段AB的长为（???）

A． B． C．40 D．20

15．如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（????）

A． B． C． D．

16．已知，集合，，.关于下列两个命题的判断，说法正确的是（?????）

命题①：集合表示的平面图形是中心对称图形；

命题②：集合表示的平面图形的面积不大于.

A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题

C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题

三、解答题

17．如图，在四棱锥中，，且．

(1)证明：平面平面；

(2)若，，且四棱锥的体积为，求与平面所成的线面角的大小．

18．在锐角三角形中，角的对边分别为，为在方向上的投影向量，且满足.

(1)求的值；

(2)若，求的周长.

19．在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间(单位：)的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人.

(1)求频率分布直方图中实数的值；

(2)每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，已知抽取的学生有男生，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；

(3)依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数分布和数学期望.

20．已知椭圆的左?右焦点分别为.

(1)以为圆心的圆经过椭圆的左焦点和上顶点，求椭圆的离心率；

(2)已知，设点是椭圆上一点，且位于轴的上方，若是等腰三角形，求点的坐标；

(3)已知，过点且倾斜角为的直线与椭圆在轴上方的交点记作，若动直线也过点且与椭圆交于两点（均不同于），是否存在定直线，使得动直线与的交点满足直线的斜率总是成等差数列？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由.

21．若函数在处取得极值，且（常数），则称是函数的“相关点”.

(1)若函数存在“相关点”，求的值；

(2)若函数（常数）存在“1相关点”，求的值：

(3)设函数的表达式为（常数且），若函数有两个不相等且均不为零的“2相关点”，过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围.

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参考答案：

题号

13

14

15

16

答案

A

D

B

A

1．

【分析】解绝对值不等式求集合A，应用集合补运算求.

【详解】由题设或，又，

所以.

故答案为：

2．

【分析】将点的坐标代入函数表达式算出参数即可得解.

【详解】由题意得，所以，解得，

所以此幂函数的表达式为.

故答案为：.

3．

【分析】化为整式不等式求解.

【详解】不等式等价于，解得，

所以不等式的解集是.

故答