线性代数二次型.ppt

1.将二次型化为标准形2.求出二次型矩阵的特征值3.计算二次型矩阵的顺序主子式判别正定二次型（矩阵）的三种方法：第41页,共42页，星期六，2024年，5月感谢大家观看第42页,共42页，星期六，2024年，5月例4.16求二次型的矩阵A,并求f的秩。解:由例4.15，得到由于故f的秩为2。则由于对称矩阵A的秩定义为二次型f的秩，如何求二次型的矩阵？第9页,共42页，星期六，2024年，5月例4.17求二次型经过线性变换解:之后的表达式。令有则第10页,共42页，星期六，2024年，5月只含平方项的二次型对应的矩阵为对角形矩阵第11页,共42页，星期六，2024年，5月●二次型的标准形定义就称此二次型为原来二次型的标准形。如果二次型经过可逆线性变换x=Hy变成y的二次型第12页,共42页，星期六，2024年，5月定理1经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。如例4.17经线性变换化得标准形第13页,共42页，星期六，2024年，5月●用配方法把二次型化成标准型作线性变换即解可得二次型的标准形例第14页,共42页，星期六，2024年，5月定义设A,B为n阶方阵,如果存在n阶可逆矩阵C,使得则称矩阵A与B是合同的,称矩阵C为合同变换矩阵.结论实对称矩阵一定与对角形矩阵合同。第15页,共42页，星期六，2024年，5月证明A是对称矩阵，则AT=A。于是（1）（2）定理4.10对于任意可逆矩阵C,令如果A是对称矩阵,则B也是对称矩阵,且R(A)=R(B).第16页,共42页，星期六，2024年，5月●将二次型化为标准形的实质问题一般形式化为标准形式经可逆变换本质问题：寻找可逆矩阵P，使得回顾上一章知识，能否解决？如何解决？上一章的结论:对于实对称阵A,一定存在正交阵P使得A相似对角阵,即:第17页,共42页，星期六，2024年，5月证：由于A是n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P,使●用正交变换化二次型为标准型对作正交变换则有定理4.11任给二次型总有正交变换x=Py使f化为标准形其中为A的所有特征值.第18页,共42页，星期六，2024年，5月正交变换对称矩阵A正交矩阵P用正交变换化二次型为标准型第19页,共42页，星期六，2024年，5月●用正交变换化二次型为标准型的具体步骤2.求矩阵A的特征值3.对每个特征值，求对应的特征向量4.将特征向量正交化、单位化，得到1.写出二次型的矩阵A5.构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形正交矩阵正交变换标准形第20页,共42页，星期六，2024年，5月得特征值可顺次求得单位特征向量例用正交变换，化下列二次型为标准形解二次型的矩阵为由令则经正交变换，可得标准形第21页,共42页，星期六，2024年，5月例、试用正交变换化二次型为标准型矩阵A的特征多项式为特征值正交化得线性无关的特征向量可得特征向量解:第22页,共42页，星期六，2024年，5月单位化作正交变换代入f，得到标准型第23页,共42页，星期六，2024年，5月例求下列平面图形所围图形的面积：解A的特征值为经过正交变换曲线可化为标准形第24页,共42页，星期六，2024年，5月●惯性定律对于同一个二次型的标准形，非零项的个数是固定的(称为二次型的惯性指标），等于二次型的秩，且正项的个数是固定的（称为正惯性指标），负项的个数也是固定的（称为负惯性指标）。f的惯性指标=f的矩阵A的非零特征值的个数=R(A)f的正惯性指标=f的矩阵A的正特征值的个数f的负惯性指标=f的矩阵A的负特征值的个数第25页,共42页，星期六，2024年，5月●二次型的规范形二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是，如下形式的标准形是唯一的：以1或-1为系数的标准形称为二次型的规范形。结论：二次型的规范形是唯一的。