人教版高中数学选择性必修第二册4.2.2等差数列的钱n项和性质及应用（第二课时）课件.pptxVIP

4.2.2等差数列的前n项和的

性质及应用(第2课时)

人教A版(2019)

选择性必修第二册

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①推导等差数列前n项和的方法“倒序相加法”.

②方程(组)思想的应用，“知三求一”,“知三求二”.

等差数列前n项和可以转化为关于n的一元二次函数(d≠0)或一次函数(d=0).

等差数列前n项和公式?

提示：

设等差数列{an}的前n项和为Sn,则

1.数列{an}是等差数列→Sn=pn²+qn(p、q为常数)→数列是等差数列.

2.等差数列的依次k项之和，Sk,S₂k-Sk,S₃k-S₂k,...组成公差为k²d的等差数列.

3.若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d,

①当项数为偶数2n时，S偶-S奇=nd

②当项数为偶数2n-1时，S奇-偶=an,S₂n-1=(2n-1)an

拓展等差数列前n项和的常用性质

例8某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，

从第2排起后一排都比前一排多2个座位，问第1排应安排多少个座位.

分析：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列{an}.设数列{an}的前n项和为Sn.

由题意可知，{an}是等差数列，并且公差及前20项的和已知，所以可利用等差数列的前n项和公式求首项.

解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位依次排成一列，构成等差数列{an},其前n项和为Sn·

根据题意，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S₂0=800.

a₁=21.

因此，第1排应安排21个座位。

例9已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a₁=10,公差d=-2,则Sn是否存在

最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.

分析：由a₁0和d0,可以证明{an}是递减数列，且存在正整数k,

使得当n≥k时，an0,Sn递减.这样，就把求Sn的最大值转化为

求{an}的所有正数项的和.

另一方面，等差数列的前n项和公式可写成

所以当d≠0时，Sn可以看成是二次函数

∈R)当x=n时的函数值

如图4.2-4,当d0时，Sn关于n的图象是一条开口向下的抛

物线上的一些点.因此，可以利用二次函数求出相应的n,Sn的值，

图4.2-4

例9已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a₁=10,公差d=-2,则Sn是否存在

最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.

解法1:

由an+1一an=-20,得an+1an,所以{an}是递减数列.

又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12,可知：

当n6时，an0;

当n=6时，an=0;

当n6时，an0;

所以S₁S₂…S₅=S₆S₇….也就是说，当n=5或6时，Sn最大.

所以Sn的最大值为30.

例9已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a₁=10,公差d=-2,则Sn是否存在

最大值?若存在，求Sn的最大值及取得最大值是n的值；若不存在，说明理由.

解法2:

所以，当n取与最接近的正数即5或6时，S,最大，最大值为30.

思考

在例9中，当d=-3.5时，Sn有最大值吗?结合例9考虑更一般的等差数列前n项和的最大值问题

提示：

结合Sn对应的二次函数知，Sn有最大值，当n=3时，Sn取到最大值.

将Sn配方，转化为二次函数的最值问题，借助函数单调性来解决。但要注意n∈N*

当d0时，Sn有最小值；当d0时，Sn有最大值；

且n取最接近对称轴的自然数时，Sn取到最值

(2)图象法：

利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值.

(3)邻项变号法：

当a₁0,d0时，满的项数n使Sn取得最大值

当a₁0,d0时，满足的项数n使Sn取得最小值.

拓展等差数列前n项和Sn的最值

(1)二次函数法：

求第21项到第30项的和

解法1:

设等差数列{an}的首项为a₁,公差为d,得

1(例题改编)

已知一个等差数列{an}前10项的和是310,前20项的和是1220

S₁0=310,S₂0-S₁0=910.

所以

所以a₂1=4+20×6=124,于是

所以第21项到第30项的和为151