行列式习题讲解.docVIP

1.计算以下三阶行列式．

〔1〕〔2〕

〔3〕〔4〕

解

〔1〕

．

〔2〕.

〔3〕

.

〔4〕.

2.求解以下线性方程组．

〔1〕〔2〕

〔3〕〔4〕

解〔1〕因为系数行列式,从而计算

,，

所以，方程组的唯一解为,.

〔2〕因为系数行列式,

,，

所以，方程组的唯一解为,.

〔3〕因为系数行列式，从而计算

，

，

，

所以，方程组的解为，，.

〔4〕因为系数行列式，从而计算

，

，

，

所以，方程组的解为，，.

3.确定以下排列的逆序数，并确定排列的奇偶性.

〔1〕1423；〔2〕25143；〔3〕6573412；

〔4〕135〔2-1〕246〔2〕.

解(1)〔1423〕，偶排列.

〔2〕〔25143〕，奇排列.

〔3〕〔6573412〕，奇排列.

〔4〕〔135〔2-1〕246〔2〕〕，当或时，为偶排列；当或时，为奇排列.

4.以下乘积中，哪些可以构成相应阶数的行列式的项？

(1)；(2)；

(3)；(4)．

解因为阶行列式的项是一切可能取自不同行不同列的个元素的乘积，所以(1)，(3)可以构成,(2),(4)不可以．

5.确定以下五阶行列式的项所带的符号．

(1)；〔2〕．

解因为阶行列式，所以

〔1〕所带的符号为=；

〔2〕所带的符号为

．

6.在函数中，的系数是什么？

解根据行列式的定义，仅当四个元素相乘才能出现，此时该项列标排列的逆序数为〔2134〕，故的系数是〔－１〕．

7.写出四阶行列式含有且带正号的项．

解中含有的项为，，，，，，其中带正号的项为，，．

8.用定义计算行列式．

〔1〕〔2〕

解〔1〕考虑非零项，第二行中，仅有不为零，第三行中，仅有不为零，从而．

〔2〕考虑非零项，

．

9.利用行列式的性质证明：

〔1〕；

〔2〕；

〔3〕；

〔4〕．

证明

〔1〕；

〔2〕

．

〔3〕

．

〔4〕．

10.计算行列式

〔1〕〔2〕

〔3〕〔4〕

〔5〕〔6〕

解

〔1〕；

〔2〕

；

〔3〕

；

〔4〕；

〔5〕

；

〔6〕

．

11.用克拉默法那么求解以下线性方程组．

〔1〕〔2〕

〔3〕〔4〕

解〔1〕计算系数行列式

，故方程组有唯一解．

，

，

，

所以，方程组的解为：，，．

〔2〕计算系数行列式

，故方程组有唯一解．

，

，

，

所以，方程组的解为：，，．

〔3〕计算系数行列式

，故方程组有唯一解．

，

，

，

，

所以，方程组的解为：，，，．

〔4〕计算系数行列式

＝

＝，故方程组有唯一解.

＝＝

＝，

，

，

，

所以，方程组的解为：，，，