无穷小量阶的比较(老黄学高数第109讲).ppt

老黄学高数第109讲无穷小量阶的比较f为g的高阶无穷小量，或称g为f的低阶无穷小量，1、若=0，则称当x→x0时，记作f(x)=o(g(x))(x→x0).注：o(g(x))=f(x)=o(g(x))，即f(x)∈设x→x0时，f与g均为无穷小量，2、若存在正数K和L，使得在某U0(x0)上有：K≤≤L或=c≠0，则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量.当≤L时,x∈U0(x0).记作f(x)=O(g(x))(x→x0).当f(x)=o(g(x))(x→x0)时，也有f(x)=O(g(x))(x→x0).设x→x0时，f与g均为无穷小量，证明下列两组无穷小量是同阶无穷小量.(1)当x→0时，1-cosx与x2；(2)当x→0时，x与x.证：(1)∵∴1-cosx与x2为当x→0时的同阶无穷小量.(2)∵∴x与x为当x→0时的同阶无穷小量.记作f(x)~g(x)(x→x0).3、若=1，则称f与g为当x→x0时的等阶无穷小量.设x→x0时，f与g均为无穷小量，注：不是任何两个无穷小量阶都可以进行比较，如：当x→0时，x和x2sin都是无穷小量，但它们的比所以不能进行阶的比较。或当x→0时，都不是有界量，1、证明下列各式：解：(1)当|x|1时，1(2x-x2)/x=2-x3，(1)2x-x2=O(x)(x→0)；(2)xsin=O()(x→0+)；∴2x-x2=O(x)(x→0).(2)∵xsin=O()(x→0+).∴1、证明下列各式：(4)当n=1时，(1+x)n-(1+nx)=0；(3)-1=o(1)(x→0)；(3)得证！(4)(1+x)n=1+nx+o(x)(x→0)(n为正整数)；当n1时，=0.∴(1+x)n=1+nx+o(x)(x→0)(n为正整数).1、证明下列各式：(5)x3=o(2x3+x2)(x→0)；(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)；∴2x3+x2=O(x3)(x→∞).∴o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0).(6)∵=0，(5)∵1、证明下列各式：(7)o(g1(x))·o(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0).∴o(g1(x))·o(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0).(7)∵=0，=2、设f(x)~g(x)(x→x0)，证明：证：由f(x)~g(x)(x→x0),知f(x)-g(x)=o(f(x))且f(x)-g(x)=o(g(x)).且∴且f(x)-g(x)=o(f(x))且f(x)-g(x)=o(g(x)).********************