流体力学第6章 水波理论.pptx

工程流体力学

第6章水波理论

波浪运动是自然界中最常见的现象之一。

一般波浪的产生需要以下两个条件：对于处于平衡状态的水需要有破坏其平衡的扰动力以及使其恢复平衡的回复力。

在回复力中最重要的是重力，特别是水自

由表面的波浪，当水表面受到扰动力液面离开水平位置(即平衡位置),重力就会使此面恢复到原来的位置；因此这种波浪往往称为表面重力波，简称表面波，重力波或水波。

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水的粘性对波浪影响是相当小的，在讨论波浪运动时仅限于不可压缩理想流体且运动是有势的以及将波浪运动假设为满足线形的微幅波。

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6.1二维波动的数学表达

6.1.1波动方程

将坐标原点取于静止水面上，沿波传播方向水平轴为x轴，z轴为铅垂向上，静水表面z=0,在数学中，二维的波动方程一般形式是

z=f(x-ct)

若z=f(x)是一正弦曲线(或者余弦曲线),则称之为简谐前进波(简称谐波)

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z=A₀sin(kx-wt+δ)

或

式中，A称为波幅称为波速，称为初始相位。

波浪运动的特征是：

(1)水波的自由表面呈周期性的起伏，它在自由表面处展开，再从表面传入流体内部。

(2)水质点作有规律的振荡运动。

(3)波形以一定的速度向前传播。

(4)波浪运动是非恒定运动。

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图6.1简谐前进波

图6.1是简谐前进波的示意图。

(1)波高H:波顶(波峰)与波底(波谷)垂直距离，它是振幅A₀(波幅)的两倍，即H=2A₀;

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波速c

波长λ

波顶波峰

波幅

A₀

波底波谷底，z=-d

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6.1.2波浪要素

Z

0

d

波高H静水位x

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(2)波长λ:在波前进的方向上两个相邻的波顶或波底之间的水平距离；

(3)波陡：波高与波长之比，即;

(4)超高50:在波高的一半处，作一水平线称为波浪中线，它超出静水面的高度称为超高；对于谐波，一般超

高为零。

(5)周期T:波形传播一个波长λ所需要的时间；

(6)频率：周期的倒数，即单位时间内出现波的次数；

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(7)波数k:2π长度内所包含波的个数，显然

(8)波速(相位速度)c:波面向右(或向左)推进的速度

(10)圆频率0:,它表示单位时间转动的角

度。

(9)波倾角：波面的倾斜度

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6.2波浪运动的基本方程与边界条件

6.2.1基本方程

条件：在研究波浪运动时，流体是不可压缩理想流体，而且是无旋的，在流体域内必定存在速度势φ,质量力仅仅是重力。

基本方程如下：

不可压缩流体连续方程为▽·v=0

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流体是无旋的，存在着速度势V²φ(x,y,z,t)=0

且

或Vφ=V

拉格朗日积分式为

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式中U为物体运动速度在物面外法线方向的投影。

(3)在自由表面上，水波的高度(离静止水面)

为5(x,y,t),则自由表面的方程为z=5(x,y,t)(波面方程或自由液面方程)。

6.2.2边界条件

(1)设水域底部的深度为d,则水域底部边界条件：

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边界面方程为x,y,t)=0

则利用水中运动物体表面不可穿透条件为

运动学条件为(利用水中运动物体表面不可穿透条件):

相对压强p=0。

当z=5(x,y,t)时，

自由表面动力学条件(设自由表面上的压强为Pa,

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6.2.3微幅进行波的基本方程和边界条件

引进微幅波假定。所波，是指波动的振幅A₀相对于波长入为小量，或,它使得自由表面上边界条件线性化，从而在求解上较为简单。

对于微幅波可作如下三个假设：

(1)质点运动速度很小，项可以略去；

(2)自由表面对水平面z=0的偏离很小，可用水平面z=0的物理量来代替自由面z=ζ(x,y,t)上的物理量；

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(3)自由面上的切平面和水平面相差无几，相当于假设也是小量。

对于微幅波，在自由表面上边界条件可简化如下：

运动学条件

动力学条件

用速度势φ表示的自件，即

求解压强场的拉格朗日积分式

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6.2.4初始条件

波浪运动的速度势φ,还必须