北师大版数学九上前三章-易错点、难点.docVIP

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第一章特殊的平行四边形

【八下知识回顾】

平行四边形(□)

性质：

(1)两组对边分别平行；

两组对边分别相等；

(3)两组对角分别相等；

(4)对角线互相平分(即交点是两条对角线的中点)；

(5)是中心对称图形(对称中心是对角线的交点)，对角线分成的四个三角形面积相等(且有两组全等)，面积=底×高(S=ah).

补充：(中心对称图形)过对称中心的任意一条直线都可将其面积平分.

判定：

(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；

(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；

(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；

☆☆(5)两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.

※平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等.这个距离称为平行线之间的距离.

【特别提示：经常用该性质来转化三角形的面积：同底等高】

例：正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（）A.10B.12C.14D.16

（同底等高），（同底等高）

一.菱形

1.性质：

(1)具有一般平行四边形的一切性质；

(2)四条边都相等；

(3)两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角【具有角平分线的作用】

(4)菱形既是\t/_blank轴对称图形，\t/_blank对称轴是两条对角线所在直线，也是\t/_blank中心对称图形.对角线分成的四个小直角三角形全等.）

☆☆(5)面积=底×高=对角线乘积(S=CD.BE=AC.BD)

【补充】在60°(或120°)的菱形中，短对角线等于边长，长对角线是短对角线的倍.

①△ABC和△ACD均为等边△，△ABD和△BCD均为顶角为120°的等腰△；

②AC=AB，BD=AC=AB.

2.判定

(1)四条边都相等的四边形是菱形.【证三组邻边相等】

(2)一组邻边相等的平行四边形是菱形.

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

二.矩形

1.性质

(1)具有一般平行四边形的一切性质；

(2)四个角都是直角；

(3)两条对角线相等，两条对角线将矩形分成了四个面积相等的等腰三角形(互为对顶角的全等)；

(4)既是中心对称图形，又是轴对称图形，有两条对称轴，是分别过对边中点的两条直线；

(5)面积=长×宽(S=ab)

2.判定

(1)有三个角是直角的四边形是矩形(或四个角都相等的四边形是矩形)

(2)有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)；

(3)对角线相等的平行四边形是矩形.

※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.(切记：任意直角三角形都有这个性质)

该中线将直角三角形分成了两个等腰三角形(注意:当为等腰直角三角形时，斜边的中线分出的两个等腰△为全等的等腰直角△)

※推论的逆命题：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边.

如图，在△ABC中，点D为AB的中点，连接CD，且CD=AB，则∠C=90°.

思路:∵CD=AD，∴∠1=∠A，∵CD=BD，∴∠2=∠B，∵∠A+∠1+∠2+∠B=180°，

∴2∠1+2∠2=180°，∴∠1+∠2=90°，即∠C=90°.

三.正方形

1.性质

(1)正方形具有一般平行四边形、矩形、菱形的一切性质；

(2)正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形，有四条对称轴)；

(3)对角线分成的四个等腰直角三角形全等；

(4)面积=边长的平方=对角线的平方(S=a2=b2)

2.判定

(1)有一个内角是直角的菱形是正方形；

(2)邻边相等的矩形是正方形；

(3)对角线相等的菱形是正方形；

(4)对角线互相垂直的矩形是正方形.

正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：

知识补充

补充一:

直角三角形的定义、性质及判定

三角形类型

定义

性质

判定

直角三角形

有一个角是直角的三角形是直角三角形，即“Rt△”

1.直角三角形的两锐角互余

2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

3.直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半(逆命题：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°)

4.直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）

1.有一个角是直角的三角形是直角三角形

2.有两个角互余的三角形是直角三角形

3.如果一个三角形中两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理逆定理）

三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第