2023届河南省郑州市高三第一次质量预测理科数学试题（原卷版）.docx

高考模拟试题

PAGE

PAGE1

郑州市2023年高中毕业年级第一次质量预测

理科数学试题卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.设集合．则（）

A B. C. D.

2.已知是虚数单位，若复数的实部为1，，则复数的虚部为（）

A.或 B.或 C.或1 D.或

3.已知双曲线（）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为

A B. C. D.

4.欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素（也称互质）的正整数的个数，例如，，．则（）

A.数列单调 B.

C.数列是等比数列 D.

5.若实数,满足约束条件,则的（）

A.最大值为4 B.最小值为4 C.最大值为5 D.最小值为5

6.设等差数列的前项和为，，，则公差的取值范围是（）

A. B. C. D.

7.记函数的最小正周期为．若，且的图象的一条对称轴为，关于该函数有下列四个说法：

①；

②；

③在上单调递增；

④为了得到的图象，只需将的图象向右平移个单位长度．

以上四个说法中，正确的个数为（）

A.1 B.2 C.3 D.4

8.河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为，高为2，体积为，则该“方斗”的侧面积为（）

A24 B.12 C. D.

9.记的内角，，的对边分别为，，，已知角，，则角（）

A. B. C. D.

10.在如图所示的实验装置中，两个正方形框架，的边长都为1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记．则下列结论错误的是（）

A.该模型外接球的半径为 B.当时，的长度最小

C.异面直线与所成的角为60° D.平面

11.已知直线与抛物线交于，两点，为坐标原点，，交于点，点的坐标为，则的值为（）

A. B.2 C. D.3

12.已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，且满足，则（）

A. B.0 C.2 D.2023

二、填空题（每题5分，满分20分．）

13.的展开式中的项系数为___________；

14.已知四边形是边长为2的正方形，若，且为的中点，则______．

15.经过点以及圆与交点的圆的方程为______．

16.已知函数，若有两个不同的极值点，且，则的取值范围为______．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：每题12分，共60分．

17.已知数列满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列前项和．

18.如图，正四棱锥的底面边长和高均为2，，分别为，的中点．

（1）若点是线段上的点，且，判断点是否在平面内，并证明你的结论；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19.世界杯足球赛淘汰赛阶段比赛规则为：90分钟内进球多的球队取胜，如果参赛双方在90分钟内无法决出胜负（踢成平局），将进行30分钟的加时赛，若加时赛阶段两队仍未分出胜负，则进入“点球大战”．点球大战的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5球前，一队进球数已多于另一队踢5球可能踢中的球数，则该队胜出，譬如：第4轮结束时，双方进球数比，则不需踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮．直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜．现有甲乙两队在淘汰赛中相遇，双方势均力敌，120分钟（含加时赛）仍未分出胜负，须采用“点球大战”决定胜负．设甲队每名球员射进的概率为，乙队每名球员射进的概率为．每轮点球结果互不影响．

（1）设甲队踢了5球，为射进点球的个数，求的分布列与期望；

（2）若每轮点球都由甲队先踢，求在第四轮点球结束时，乙队进了4个球并刚好胜出的概率．

20.已知椭圆：的离心率为，且过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设不过点的直线与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为，记直线，，的斜率分别为，，，若，证明直线的斜率为定值．

21.已知函数，．

（1）求的单调区间与最值；

（2）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．

（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题