2025年课标高考文数每日习题真题分类6.4　数列求和、数列的综合应用 (3)(带答案解析).docx

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6.4数列求和、数列的综合应用

应用篇知行合一

应用构建数列模型解决实际问题

1.(2024届湖南名校10月联考,6实际生活与等比数列)2024年小林大学毕业后,9月1日开始工作,他决定给自己开一张储蓄银行卡,每月的10号存钱至该银行卡(假设当天存钱次日到账).2024年9月10日他给卡上存入1元,以后每月存的钱数比上个月多一倍,则他这张银行卡账上存钱总额(不含银行利息)首次达到1万元的时间为()

A.2024年12月11日

B.2024年11月11日

C.2024年10月11日

D.2024年9月11日

答案C依题意可知,小林从第一个月开始,每月所存钱数依次成首项为1,公比为2的等比数列,其前n项和为1·(1-2n)1

2.(2024山东潍坊6月模拟数学文化与等差数列)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.相逢时良马比驽马多行()

A.540里B.426里C.963里D.114里

答案A由题意得,两马共同走完两倍的齐至长安的距离,假设两马第k日相逢,因为良马首日行103里,

所以第k日行[103+13(k-1)]里,

故相遇时良马行[103+103+13

同理,驽马行[97+97

则[103+103+13(k

此时良马行(103+103+13×8)×9

3.(2024山东省实验中学期中数学文化与等比数列)古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,若要使织布的总尺数不少于30尺,则至少需要()

A.6天B.7天C.8天D.9天

答案C设该女子第一天织布x尺,

则x(1-

∴前n天织布531(2n-1)尺,由531(2n-1)≥30,得2

4.(2024届全国联考,6实际生活)某微生物科研机构为了记录微生物在不同时期的存活状态,计划将微生物分批次培养,第一批次,培养1个;从第二批次开始,每一批次培养的个数是前一批次的2倍,按照这种培养方式(假定每一批次的微生物都能成活),要使微生物的总个数不少于950,大概经过的批次为()

A.10B.9C.8D.7

答案A易知每一批次培养的个数构成等比数列,设经过的批次为n,则培养第n批次后,微生物的总个数为1-2n1-2=2

5.(2024届湖南湘潭月考,4数学文化与等比数列)我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位(1533年—1606年)所著.程大位

少年时,读书极为广博,对书法和数学颇感兴趣.20岁起便在长江中下游一带经商,因商业计算的需要,他随时留心数学,遍访名师,搜集了很多数学书籍,刻苦钻研,时有心得,终于在他60岁时,完成了《算法统宗》这本著作.该书中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”根据诗词的意思,可得塔的最底层共有灯()

A.192盏B.128盏C.3盏D.1盏

答案A设塔顶层有x盏灯,则问题等价于一个首项为x,公比为2的等比数列的前7项和为381,所以x(1-

6.(多选)(2024湖南、河北联考,11数学文化与等差数列)朱世杰是元代著名数学家,他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题,主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔,小明模仿“堆垛”问题,将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”,要求层数不小于2,且从最下面一层开始,每一层比上一层多1根,则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是()

A.4B.5C.7D.8

答案BD依据题意得,根数从上至下构成等差数列,设首项即从上而下第一层的根数为a1,则公差d=1,设一共放n(n≥2)层,则总根数为na1+n(

整理得2a1=200n+1-n,因为a1∈N*

所以n为200的因数,200n

代入选项验证可知n=5,8满足题意.故选BD.

7.(多选)(2024届江苏南通海门一中月考数学文化)《张丘建算经》是中国古代众多数学名著之一.书中有如下问题:“今有女善织,日益功疾,初日织五尺,今一月日织九匹三丈,问日益几何?”其大意为:“有一女子擅长织布,织布的速度一天比一天快,从第二天起,每天比前一天多织相同数量的布,第一天织5尺,